Метрические пространства

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Метрические пространства

Метрические пространства. Определение 1.Если множество неотрицательных функций p (x, y) определено в упорядоченной паре (x, y) элементов этого множества, называемой расстоянием (или метрикой), то множество X = {x, y, r,…}Называется метрическим пространством X) таким. 1) p («Y) −0, только если x = y、 2) р (х, г)= р(г, х), xevX, у = Х \ 3) р(х, г)<р(х, р)+ р(р, г), х = х,(/ ех, гекс. Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами расстояния. Элемент в метрическом пространстве называется точкой. Образцы. 1.Набор всех вещественных чисел/?、 Если расстояние между действительными числами определяется как абсолютное значение их разности. p (x, y)= \ x-y\, x^,, y ^form образуют метрическое пространство. 2. Множество комплексных чисел C.

Рассмотрим набор функций, заключенных в E, которые принимают значения E (вещественные или комплексные). Людмила Фирмаль

Расстояние между его элементами задается формулой p (r, r ’)= \ r-r’, geC, r ’ eC, а также образует метрическое пространство. 3.Евклидово пространство Hn размерности n (см.§ 18.1) есть точка x =(x1,…хп) и y (У1,…, уя) расстояние между уравнениями (см. (18.1)） 4. Сделайте Е какой-нибудь набор. Для таких 2 функций φ и φ、 (57.1） п(ф, ф)= Зир | Ф(0-Ф(0, я1 = E Легко видеть, что функция p (cp, Phi) является метрикой. Эффективность свойств расстояния 1 и 2 прямо очевидна. Рассмотрим действительность свойства 3.пусть p, φ и χ-ограниченные функции, определенные в множестве E. любой элемент/ ф (0 −1 (OI = I [ф (0-Ф (01 + [Ф (0-X (0-X (011 IФ (0-Ф (01 +1Ф(0-х (01. Для этого Ф (0-х (01 ^8iiф (0-ф (0!+5иРИФ (0-х (01. Е е-е § 57.

Функциональное пространство Четыреста двенадцать Откуда Страницы| Ф(0-х(ОI5рIф(0-ф(я)| +Зир|ф(О% (я)|、 Е Е Е Е Иначе говоря П(ф. Х) п(ф. Ф)+ п (ф,%)■ 5. C » размерность евклидова пространства Hn измеримое открытое множество Жордана. Если расстояние между функциями p∈X и φ X определяется следующим уравнением, то множество X непрерывной функции на замыкании O множества O образует метрическое пространство. Если P (φ))= ^ I«(■)-Φ ()| p(φ, φ)= 0, то есть$ |φ (x)-p (x)|β= 0, это недопустимо из-за следствия свойства 9°кратного интеграла (см.§ 44.6). в этом случае характеристика расстояния 2°очевидна, а характеристика 3°легко проверяется. если φ, φ и χ непрерывны、 П(Φ, Φ)= ^Φ ()〜Х(Х)Я)= ^ | [Ф(х)-ф ()]-[ф(х)-х ()] Л? ^ $ / φ ( * ) φ (*) 1 * С+ $ / Ф ( * ) Х (*) |Л ’= p (φ, φ)+ p (φ, x）если η-1, 0 = [o, b], то введенная метрика последовательных функций на интервале[a, 6]будет иметь вид: б P (φ, Φ)= $ |φ ( * ) φ () / ^ (57.2).

Естественно, подобные пространства вводятся в функции, определенные с бесконечными интервалами. Например, если a = oo для 2 непрерывных функций φ и φ, полностью интегрируемых по всей числовой оси, 6 = + oo, то расстояние определяется по следующей формуле: Ч-00 p (φΦ)= 5 |φ(x) φ(x) Ix. (57.3） ЭО. Определение 2. 2 метрические пространства X и X ’, если между точками существует соответствие F от 1 до 1 при сохранении расстояния, т. е.、 х ’= [(х), г’ =(г), х е ^ х, г / ех, х’EG, г ’^ х’、 Тогда p (x, y)= p(x’, y’) (такоесоответствие также называется изометрическим). 57.1.Метровое пространство Четыреста тринадцать.

Определение 3. Пусть X «метрическое пространство», тогда последовательность{xn}этой точки называется сходящейся к точке x∈X, если точка p x (x, xn)= 0, то есть если присутствует любое число 0. I * ■С Существует такое число ne, что неравенство p (x, xn) e справедливо для каждого числа nn. In в этом случае x = nm xn или п * * * * * в случае n-co это xn-x, и говорят, что точка x является пределом данной последовательности. Например, в Примере 1 и 2 сходимость рассматриваемого метрического пространства означает нормальную сходимость числового (вещественного или комплексного) sequences.

Аналогично, все подмножества метрического пространства X являются метрическими пространствами относительно одной и той же метрики, называемыми подмножествами пространства X. Людмила Фирмаль

Пример 3, сходимость последовательности это сходимость последовательности точек в n-мерном пространстве, встреченном ранее (см.§ 18.1). в метрическом пространстве функции, определенной и ограниченной в множестве, где расстояние определяется выражением (57.1), столбец функции{pn}сходится к функции φ. Золото $ ir 1ph(0-Fl (01 = 0. Я * ■ы / е-е То есть, если последовательность{φ»}сходится равномерно к функции φ в множестве κ(т. I, см.§ 36.2). Наконец, пример 5 показывает форму сходимости последовательности функций в смысле целочисленной метрики. если η= 1, то аналогичная сходимость уже встречалась в§ 55.2 (Лемма 2) и§ 56.7 (в результате леммы 4). Упражнение 1.Множество E метрического пространства X называется ограниченным в следующих случаях: А (Е)» = Зир р(х, г)+ со; Эй, да Количество.

Свертка и преобразование Фурье.	Линейные пространства.
Производная преобразования Фурье функции.	Нормированные и полуиормированные пространства.