Оглавление:
Понятие модуля действительного числа, его график и свойства
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа x называется само это число, если x — положительно; нуль, если x равен нулю; число, противоположное числу x , если x — отрицательно.
![Модуль действительного числа, его график и свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-40165.png)
Модуль действительного числа x обозначается |х|. Функция у =|х|
относится к алгебраическим, так как
Итак, по определению, имеем:
Аналогично водится понятие модуля для произвольного выражения:
![Модуль действительного числа, его график и свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-40175.png)
Основные свойства модуля
Пусть
Тогда справедливы следующие свойства:
- Модуль числа неотрицателен:
- Модуль числа не меньше самого числа:
, причём неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда
Модуль числа не меньше того же числа, взятого со знаком минус:
причём неравенство обращается в равенство
- Модули противоположных чисел равны:
- Квадраты числа и его модуля равны:
- Арифметический корень чётной степени, извлечённый из такой же степени числа, равен модулю числа:
- Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей:
- Модуль частного равен частному модулей:
- Модуль суммы двух чисел не превышает суммы их модулей:
причём неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда числа имеют одинаковые знаки либо хотя бы одно из них обращается в нуль (т.е. когда
Модуль разности двух чисел также не превосходит суммы их модулей: причём равенство имеет место
Доказательство. Пользуясь тем, что обе части неравенства неотрицательны, возведём его в квадрат и получим равносильное неравенство
которое, очевидно, верно при всех
Следовательно, исходное неравенство также верно. При этом доказываемое неравенство обращается в равенство одновременно с неравенством т.е. когда
Для доказательства свойства
достаточно подставить в неравенство
вместо у выражение (-y).
Приведём здесь также известное обобщение этого неравенства на случай произвольного количества чисел: если — любые действительные числа, то
![Модуль действительного числа, его график и свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-40548.png)
(неравенство доказывается методом математической индукции).
Модуль суммы (разности) двух чисел не меньше модуля разности их модулей:
![Модуль действительного числа, его график и свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-40549.png)
причём неравенство обращается в равенство
А также причём неравенство обращается в равенство
Доказательство. Пользуясь тем, что обе части неравенства неотрицательны, возведём его в квадрат и получим равносильное неравенство
![Модуль действительного числа, его график и свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-40555.png)
которое, очевидно, выполняется при всех При этом исходное неравенство обращается в равенство одновременно с неравенством
т.е. когда
(числа x, у имеют разные знаки или хотя бы одно из них обращается в нуль). Для доказательства свойства
достаточно подставить в доказанное неравенство
вместо у выражение (-y) .
10.Действительное число всегда представимо в виде произведения его модуля на функцию его знака: где
![Модуль действительного числа, его график и свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-40562.png)
есть известная в математике функция, называемая «сигнум», или «знак числа».
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: