Для связи в whatsapp +905441085890

Момент инерции тела относительно оси

Момент инерции тела относительно оси

Движение системы зависит не только от действующих на нее сил и массы системы, но еще и от распределения этой массы. Помимо положения центра масс системы, распределение ее массы характеризуется еще одной, имеющей очень важное значение в динамике системы, величиной — моментом инерции.

Моментом инерции Момент инерции тела относительно оси твердого тела относительно какой-либо оси Момент инерции тела относительно оси (осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме, составленной из произведений массы Момент инерции тела относительно оси каждой точки тела на квадрат ее расстояния Момент инерции тела относительно оси до данной оси.

Для того чтобы найти момент инерции твердого тела относительно какой-либо его оси Момент инерции тела относительно оси (рис. 180), необходимо разбить все тело на очень большое число Момент инерции тела относительно оси элементарных объемов, составить сумму из произведений массы каждого элементарного объема тела на квадрат его расстояния до данной оси и затем вычислить предел этой суммы, предполагая, что число Момент инерции тела относительно оси стремится к бесконечности, а масса каждого элемента объема стремится к нулю:

Момент инерции тела относительно оси
Момент инерции тела относительно оси

Для краткости символы предела и пределы суммирования будем опускать и момент инерции Момент инерции тела относительно оси тела относительно какой-либо оси определять просто как сумму, составленную из произведений массы Момент инерции тела относительно оси каждой частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси:

Момент инерции тела относительно оси

При приближенном вычислении моментов инерции полых цилиндрических тел с тонким ободом (например, маховых колес) иногда пренебрегают толщиной обода и принимают такое тело за бесконечно тонкое кольцо (материальную окружность). В этом случае можно считать все точки тела находящимися на одинаковом расстоянии от оси Момент инерции тела относительно оси его вращения. Полагая в формуле (139) Момент инерции тела относительно оси, будем иметь:

Момент инерции тела относительно оси

Момент инерции бесконечно тонкого кольца (материальной окружности) относительно его оси вращения равен произведению его массы на квадрат радиуса:

Момент инерции тела относительно оси

Иногда бывает удобно момент инерции Момент инерции тела относительно оси тела относительно оси представить в виде произведения массы Момент инерции тела относительно оси тела на квадрат длины некоторого отрезка Момент инерции тела относительно оси называемого радиусом инерции тела относительно соответствующей оси:

Момент инерции тела относительно оси

Очевидно, что под радиусом инерции тела относительно какой-либо оси можно понимать радиус такого бесконечно тонкого кольца, в котором нужно сосредоточить всю массу Момент инерции тела относительно оси тела, чтобы получить момент инерции кольца, равный моменту инерции тела относительно этой оси.

Если момент инерции тела относительно оси найден, то радиус инерции тела относительно этой оси легко находится из предыдущей формулы:

Момент инерции тела относительно оси

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Механическая система
Центр масс системы
Теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей
Моменты инерции некоторых однородных тел простейшей формы относительно их центральных осей симметрии с примером решения