Оглавление:
Момент силы относительно оси
Проекция момента силы относительно точки на какую-либо ось, проходящую через эту точку, называется моментом силы относительно соответствующей оси.
Обозначая символом 
момент силы 
относительно оси 
, проходящей через центр 
, будем иметь согласно определению:
где 
—модуль момента силы относительно точки , 
— угол между направлением вектора и направлением оси проекций (рис. 76, а).
Так как всякий свободный вектор вполне определяется своими проекциями па координатные оси, то момент силы относительно какой-либо точки можно определить, найдя моменты данной силы относительно координатных осей, проходящих через эту точку.
Теорема. Момент силы относительно оси равен, алгебраической величине момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси. относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
Спроектируем силу 
на плоскость 
, перпендикулярную к оси (рис. 70, а), и найдем момент проекции 
силы на плоскость относительно точки пересечения оси с этой плоскостью
где площадь 
является проекцией на плоскость площади 
.
Площадь проекции плоской фигуры равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью проектируемой фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Так как перпендикуляром к плоскости является вектор , а перпендикуляром к плоскости — ось , то угол между этими плоскостями равен (рис. 76, а). Следовательно,
Модуль момента силы относительно точки равен
Таким образом получаем, что
Если направление силы изменить на противоположное, то и вектор изменит свое направление на противоположное. В этом случае (рис. 76, б) угол между направлением вектора и положительным направлением оси будет тупым и проекция этого век-юра на ось будет отрицательной. Но так как при этом вращение вектора вокруг точки будет направлено по ходу стрелки часов (если смотреть с положительного конца оси ), то 
будет также отрицательным. Итак,
Тот или другой знак в формуле (34) определяется по следующему правилу: если для наблюдателя, смотрящего на плоскость с положительной стороны оси , проекция силы на плоскость представляется вращающей тело вокруг оси против хода стрелки часов, то момент считается положительным-, в противном случае его считают отрицательным.
Момент силы относительно оси является, очевидно, скалярной величиной.
Для того чтобы уяснить физический смысл понятия момента силы относительно оси, рассмотрим такой пример.
Пусть сила 
, приложенная к телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, например, к двери, вращающейся на петлях вокруг оси 
(рис. 77), не лежит на плоскости, перпендикулярной к этой оси.
Разложим силу на две составляющие: 
, параллельную оси вращения тела, и 
, лежащую в плоскости, перпендикулярной к этой осн. Ясно, что составляющая не может вращать тело: она может лишь только перемещать его вдоль оси (снять дверь с петель). Вращательное движение телу может сообщать лишь составляющая . Таким образом, вращательный эффект силы относительно оси определяется вращательным эффектом ее составляющей , являющейся проекцией силы на плоскость, перпендикулярную к оси. Последний же зависит от модуля составляющей и от ее расстояния до оси, т. е. определяется моментом составляющей относительно точки пересечения оси с плоскостью, в которой расположена эта сила.
Понятие о моменте силы относительно оси является одним из важнейших понятий механики. Обобщая его, можно находить момент силы относительно любой оси, независимо от того, может ли в действительности тело вращаться вокруг этой оси.
Для того чтобы определить момент какой-либо силы относительно какой-либо оси (рис. 78), нужно провести любую плоскость , перпендикулярную к данной оси, и спроектировав силу на эту плоскость, найти алгебраическую величину момента этой проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью .
Установленный ранее (§ 21) для плоской системы сил алгебраический момент силы относительно точки можно, очевидно, рассматривать как момент силы относительно оси, проходящей через центр момента перпендикулярно к плоскости, в которой лежат эта точка и сила.
Заметим, что:
1) момент силы относительно данной оси не изменяется при перенесении силы вдоль ее линии действия, так как при этом не изменяется ни проекция силы на данную плоскость, ни ее плечо;
2) момент силы относительно оси равен нулю в тех случаях, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.
При этом возможны два случая.
а) Сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси.
б) Линия действия силы пересекает ось. В этом случае проекция силы на плоскость проходит через точку
пересечения оси с плоскостью, и ее плечо относительно этой точки равно нулю.
Пример задачи:
Сбегающая ветвь ремня, действующая на окружности шкива радиусом 
, с силой 
отклонена от средней плоскости шкива 
на угол 
. Определить момент силы относительно оси 
i вала (рис. 79).
Решение:
Спроектируем силу 
на плоскость , перпендикулярную к оси вала. Модуль этой проекции 
. Расстояние ее до точки пересечения оси с плоскостью (т. е. до центра шкива) равно 
. Таким образом, модуль момента
Если бы средняя линия рассматриваемой части ремня совпадала со средней плоскостью шкива, то момент той же силы относительно оси вала равнялся бы
Пример задачи:
К двери, вращающейся около вертикальной оси 
, в точке 
приложена сила 
под углом 
к вертикали; вертикальная плоскость, в которой лежит эта сила, образует с плоскостью двери угол 
(рис. 80). Определить момент силы 
относительно оси , если ширина двери 
.
Решение:
Проведем плоскость 
, перпендикулярную к оси и спроектируем силу из эту плоскость; модуль этой проекции 
. Из точки 
пересечения оси с плоскостью опускаем перпендикуляр на линию проекции; длина этого перпендикуляра 
. Таким образом,
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
