Оглавление:
Мультипольные моменты в физике
- Мультипольные моменты В разложенной торговле по степеням (р = <р (°) + + <^ (2) + … (41-1) член <р пропорционален я + Q? 1. Мы видели, что первый член, определить суммой всех зарядов; мым дипольным потенциалом системы, установленным ее дипольным моментом.
<р (2) —-ехахв д ——, (41-2) ‘Г PdXadXpRo’ v} индекс, указывающий номер ха-компоненты, имеющиеся в наличии, а х а- вектор Ro- Эта часть сотрудничества обычно называется квадру- если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с (р (2 \
Мы можем поэтому написать в виде Людмила Фирмаль
В выражении (41.2) указаны шесть величин ^ 2ехахр. однако Независимо от того, что функция 1 удовлетворяет уравнению Лапласа: До Р дХадХ0 (2) 1 (1 2 х \ д2 1 Ч> у ‘= -> е [хах 0 —- г да0-— ———. ‘г 2 ^ V р 3 р) д Х адХ 0 Д о Тензор Dap = X е (3хахр-r2Sap) (41,3) называется квадрупольным моментом системы.
Dap следует, что сумма его диагональных компонентов равна нуль: Даа = 0. (41.4) Симметричный тензор имеет поэтому всего пять независи мых компонент. или, произведя дифференцирование д2 1 _ ЗХаХр 5ар дх ^ дхр Rq ~ в [ и учитывая, что 5apDap = Daa = О, (2) _ D0i (317Oi17 ‘(3) V ~ 2 Как и когда-либо раз симметричный трехмерный тензор, тензор При этом в силу условий. (41,4) висимы.
- некоторой оси (ось z) 1) осей в плоскости ху и все три основных значения связаны между собой: Dxx = Dyy = -1D zz. (41,7) Обозначая компоненту Dzz как D (ее называют обычно в этом если просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде ^ (2) = щ (3соБ2в ~ ^ = Щ ^ 008 ^ ′ (41-8) между Ро и Осью, Р2-полином Лежандра.
Это было сделано в доступной параграфе для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадруполь- от выбора начала координат, как будто зарядить системы. Можно было бы написать следующее члены разложения (41.1).
симметричным по всем своим индексам можно показать по любому паре индексов Людмила Фирмаль
1-й член разложения определяется тензором (так называемым тензором 2г-польного момента) Z-ro ран га, ; что такой тензор обладает 21 + 1 независимыми компонентами2). Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потенциалом Вы знаете, что из теории сферических функций формулу s oc oRr2-2Г + щ / у IG-oR | — = Е ^ r PKcosx), (41,9) X R0 где% —угол между Ро и г.
Введем сферические углы 0, Ф и в, ip, образуемые соответственные элементы осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения для сферических функций: Pi (cosx) = Y h (! + ˆ j | -pim | (co s0) pim | (cos6,) e гт (Ф т = —1 (41.10) где Р ™ -присоединенные полиномы Лежандра.
сферические функции1) У1т (в, ф) = (-1) т г \ 21 + 1 ф т) -РГ (cos в) е ™ *, т ^ О, 17 47Г (/ + т) \ П -м О М = Тогда разложение (41.9) примет вид оо я УМС — Г — (41.11) 1 = 0 т = -1 Произведено такое разложение в каждом члене суммы (40,1), по окончательно следующее выражение для члена Z-ro ложения сотрудничества: т = —1 где <? S = Eа e «’ »!> * V5 T T y’m (e« ´ ,, «) ‘<4L13) Совокупность 21 + 1 величина составляет 2г-польный момент системы зарядов.
Определенным образом понятием в форме дипольного момента Qo ‘* = idz, = ± ^ (<4 ± idy). (41.14) (2) Великие же Qm связаны с компонентами тензора Dap отношения qW = — \ d zz, Q (Јl = ±. (D xz ± iD yz), (2) 1 (4L15) Q ± 2-2л / б ^ хх Dyy ± 2iDXy). Задача Определить квадрупольный момент равномерно заряженного эллипсоида относительно его центра.
Заменяя суммирование в (41.3) интегрируем по объему эллипсоида, имеем Dxx = Р У (2ж2-у2-z2) dx dy dz и т. Д. Эллипсоида с началом в его центре; очевидно, что это был главный аргумент в пользу Тензора. х = х’а, у = уЪ, z = z с интегрирование по объему эллипсоида сводится к интегрированию по объему сферы радиуса 1 / 2, / 2, / 2 X + у + Z = 1. В результате получите Dxx = — (2 а 2-Ъ2-с2), Dvy = — (2 а2-а2-с2), 5 5 Д „= ^ (2с2- а 2-Ъ2), 5 4 7 Г, где е = -abcp-полный заряд эллипсоида.
Смотрите также:
| Движение в кулоновом поле | Система зарядов во внешнем поле |
| Дипольный момент в физике | Постоянное магнитное поле |
