Для связи в whatsapp +905441085890

Задача 2.35. На текстильном предприятии имеется три типа ткацких станков.

Задача 2.35.

На текстильном предприятии имеется три типа ткацких станков. На станках каждого из типов могут вырабатываться четыре вида тканей: миткаль, бязь, ситец и сатин. Производительность каждого станка и себестоимость тканей приведены в табл. 2.25. Учитывая, что фонд рабочего времени каждой из групп ткацких станков соответственно равен 90, 220 и 180 станков, составить такой план их загрузки, при котором общая себестоимость

выпускаемых тканей в количестве 1200 м миткаля, 900 м бязи, 1800 м ситца и 840 м сатина является минимальной.

Решение:

Составим математическую модель задачи. Будем считать, что -й тип станков занят изготовлением -го вида тканей станкочасов. Тогда переменные должны удовлетворять следующим уравнениям:

Переменные должны удовлетворять также условию неотрицательности:

Среди всех возможных значений неизвестных удовлетворяющих уравнениям (13) и (14) и условию неотрицательности переменных (15), требуется найти такое, при котором линейная функция

принимает наименьшее значение.

Преобразуем математическую модель задачи таким образом, чтобы свести ее к модели транспортной задачи. Для этого приведем исходные Данные и неизвестные величины исходной задачи к одной единице, в качестве которой возьмем I станко-ч работы станков I типа. Тогда, поскольку производительность станков II и III типов соответственно составляют 1/2 и 1/3 производительности станков I типа (табл, 2.25), фактический фонд рабочего времени в приведенных станко-часах для II типа станков равен 105, а для III типа — 60. Общий фонд рабочего времени в приведенных станко-часах составляет 90+105+60 = 255.

Определим теперь, какое время требуется для выработки нужного количества каждого из видов тканей. Так как нужно изготовить 1200 м миткаля и за один приведенный станко-час можно выработать 24 м, то для выпуска необходимого количества миткаля потребуется 1200/24 = 50 станко-ч. Аналогично определяем потребности для выработки бязи, ситца и сатина. Эти потребности соответственно составляют 30, 100 и 20 станко-ч. Обозначим теперь через количество приведенных станко-часов -го типа станков, используемых при выработке -го вида ткани. Тогда системы уравнений (13) и (14) исходной задачи можно переписать так:

Целевая функция (16) исходной задачи записывается в виде

В результате приходим к следующей математической задаче: требуется среди всех неотрицательных решений систем линейных уравнений (17) и (18) найти такое, при котором функция (20) принимает минимальное значение.

Таким образом, исходная задача свелась к задаче, математическая модель которой ничем не отличается от математической модели транспортной задачи. Поскольку 90 + 105 + 60 = 225> > 50 + 30+100 + 20 = 200, полученная задача имеет открытую модель. Поэтому, чтобы найти ее решение, считаем, что имеется фиктивная потребность в тканях, на выработку которых необходимо затратить 255 — 200 = 55 станко-ч. Полученную в результате последнего предположения задачу решаем методом потенциалов (табл. 2.26).

Как видно из табл. 2.26, оптимальный план задачи (17) — (20) определяется матрицей

Используя соотношения (19), для определения оптимального плана исходной задачи (13) — (16) получим матрицу

Таким образом, согласно плану выработки тканей, предусматривается использовать 90 станко-ч станков 1 типа для производства ситца, соответственно 100, 60, 20 и 30 станко-ч станков II типа для выработки миткаля, бязи, ситца и сатина, 15 станко-ч станков III типа для изготовления сатина. При этом 155 станко-ч станки 111 типа остаются свободными.

В соответствии с данным планом на станках 1 типа вырабатывается 1620 м ситца, на станках II типа — 1200 м миткаля, 900 м бязи, 180 м ситца и 630 м сатина, на станках III типа — 210 м сатина. При этом 165 станко-ч станки III типа могут быть использованы для выработки сверхплановой продукции. При данном плане выработки тканей их себестоимость является минимальной и составляет

Эта задача взята со страницы решения задач по предмету «математическое программирование»:

Примеры решения задач по математическому программированию

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Задача 2.29. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в табл. 2.18, при дополнительных условиях: из в и из в перевозки не могут быть осуществлены, а из в будет завезено 60 ед. груза.
Задача 2.30. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в талб. 2.22, при дополнительных условиях: из в должно быть перевезено не менее 50 ед. груза, из в — не менее 60 ед. груза, а из в — не более 40 ед. груза.
Задача 2.36. На пяти токарных станках различных типов можно выполнять пять операций по обработке детали. При этом за каждым из станков может быть закреплена лишь одна операция и одна и та же операция может выполняться только одним станком.
Задача 2.40. В цехе предприятия решено установить дополнительное оборудование, для размещения которого выделено 19/3 площади. На приобретение оборудования предприятие может израсходовать 10 тыс. руб., при этом оно может купить оборудование двух видов. Комплект оборудования I вида стоит 1000 руб., а II вида — 3000 руб. Приобретение одного комплекта оборудования I вида позволяет увеличить выпуск продукции в смену на 2 ед., а одного комплекта оборудования II вида — на 4 ед. Зная, что для установки одного комплекта оборудования I вида требуется 2 площади, а оборудования II вида— 1 площади, определить такой набор дополнительного оборудования, который дает возможность максимально увеличить выпуск продукции.