Для связи в whatsapp +905441085890

Приложения криволинейного интеграла II рода

Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры

Площадь приложения криволинейного интеграла II рода плоской фигуры, расположенной в плоскости приложения криволинейного интеграла II рода и ограниченной замкнутой линией приложения криволинейного интеграла II рода, можно найти по формуле

приложения криволинейного интеграла II рода

при этом кривая приложения криволинейного интеграла II рода обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8) приложения криволинейного интеграла II рода, получим:

приложения криволинейного интеграла II рода

или

приложения криволинейного интеграла II рода

Аналогично, полагая приложения криволинейного интеграла II рода, найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:

приложения криволинейного интеграла II рода

Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два, получим:

приложения криволинейного интеграла II рода

Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).

Работа переменной силы

Переменная сила приложения криволинейного интеграла II рода на криволинейном участке приложения криволинейного интеграла II рода производит работу, которая находится по формуле

приложения криволинейного интеграла II рода

Действительно, пусть материальная точка приложения криволинейного интеграла II рода под действием поименной силы приложения криволинейного интеграла II рода перемещается в плоскости приложения криволинейного интеграла II рода по некоторой кривой приложения криволинейного интеграла II рода (от точки приложения криволинейного интеграла II рода до точки приложения криволинейного интеграла II рода).

приложения криволинейного интеграла II рода

Разобьем кривую приложения криволинейного интеграла II рода точками приложения криволинейного интеграла II рода на приложения криволинейного интеграла II рода «элементарных» дуг приложения криволинейного интеграла II родадлины приложения криволинейного интеграла II рода и в каждой из них возьмем произвольную точку приложения криволинейного интеграла II рода, приложения криволинейного интеграла II рода (см.рис. 244). Заменим каждую дугу приложения криволинейного интеграла II рода вектором приложения криволинейного интеграла II рода, а силу приложения криволинейного интеграла II рода будем считать постоянной на векторе перемещения приложения криволинейного интеграла II рода и равной заданной силе в точке приложения криволинейного интеграла II рода дуги приложения криволинейного интеграла II рода:

приложения криволинейного интеграла II рода

Тогда скалярное произведение приложения криволинейного интеграла II рода можно рассматривать как приближенное значение работы приложения криволинейного интеграла II рода вдоль дуги приложения криволинейного интеграла II рода:

приложения криволинейного интеграла II рода

Приближенное значение работы приложения криволинейного интеграла II рода силы приложения криволинейного интеграла II рода на всей кривой составит
величину

приложения криволинейного интеграла II рода

За точное значение работы приложения криволинейного интеграла II рода примем предел полученной суммы при приложения криволинейного интеграла II рода (тогда, очевидно, приложения криволинейного интеграла II рода и приложения криволинейного интеграла II рода):

приложения криволинейного интеграла II рода

Замечание. В случае пространственной кривой приложения криволинейного интеграла II рода имеем:

приложения криволинейного интеграла II рода

Пример №56.6.

Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой приложения криволинейного интеграла II рода.

Решение:

При обхождении астроиды в положительном направлении параметр приложения криволинейного интеграла II рода изменяется от 0 до приложения криволинейного интеграла II рода (см. рис. 245).

Применяя формулы (56.17) и (56.4), получим:

приложения криволинейного интеграла II рода
приложения криволинейного интеграла II рода

Пример №56.7.

Найти работу силы приложения криволинейного интеграла II рода вдоль кривой приложения криволинейного интеграла II рода от точки приложения криволинейного интеграла II рода до точки приложения криволинейного интеграла II рода.

Решение:

По формуле (56.20) находим:

приложения криволинейного интеграла II рода

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Формула Остроградского-Грина
Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
Вычисление поверхностного интеграла I рода
Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода