Для связи в whatsapp +905441085890

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

Площадь поверхности

Если поверхность приложения поверхностного интеграла I рода задана уравнением приложения поверхностного интеграла I рода, а ее проекция на плоскость приложения поверхностного интеграла I рода есть область приложения поверхностного интеграла I рода, в которой приложения поверхностного интеграла I рода и приложения поверхностного интеграла I рода — непрерывные функции, то ее площадь приложения поверхностного интеграла I рода вычисляется по формуле

приложения поверхностного интеграла I рода

или приложения поверхностного интеграла I рода

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы приложения поверхностного интеграла I рода. Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть приложения поверхностного интеграла I рода. Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность приложения поверхностного интеграла I рода на приложения поверхностного интеграла I рода частей приложения поверхностного интеграла I рода, площадь которой обозначим приложения поверхностного интеграла I рода.

2. Берем произвольную точку приложения поверхностного интеграла I рода в каждой области приложения поверхностного интеграла I рода. Предполагаем, что в пределах области приложения поверхностного интеграла I рода плотность постоянна и равна значению ее в точке приложения поверхностного интеграла I рода.

3. Масса приложения поверхностного интеграла I рода области приложения поверхностного интеграла I рода мало отличается от массы приложения поверхностного интеграла I рода фиктивной однородной области с постоянной плотностью

приложения поверхностного интеграла I рода

4. Суммируя приложения поверхностного интеграла I рода по всей области, получаем: приложения поверхностного интеграла I рода.

5. За точное значение массы материальной поверхности приложения поверхностного интеграла I рода принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей приложения поверхностного интеграла I рода, т. е.

приложения поверхностного интеграла I рода

т. е.

приложения поверхностного интеграла I рода

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности приложения поверхностного интеграла I рода находятся по соответствующим формулам:

приложения поверхностного интеграла I рода
приложения поверхностного интеграла I рода

Пример №57.3.

Найти массу полусферы радиуса приложения поверхностного интеграла I рода, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.

Решение:

На рисунке 250 изображена полусфера радиуса приложения поверхностного интеграла I рода. В уравнение приложения поверхностного интеграла I рода — поверхностная плотность полусферы.

По формуле (57.7) находим:

приложения поверхностного интеграла I рода

Переходим к полярным координатам:

приложения поверхностного интеграла I рода

Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки приложения поверхностного интеграла I рода:

приложения поверхностного интеграла I рода

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла II рода
Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода