Оглавление:
Некоторые приложения степенных рядов
Приближенное вычисление значений функции
Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью .
Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд
и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т. е.
а приближенное — частичной сумме , т.е.
Точность этого равенства увеличивается с ростом . Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.
где
Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.
Для рядов лейбницевского типа
(см. п. 61.1).
В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют рад из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.
Пример №65.1.
Найти с точностью до 0,001.
Решение:
Согласно формуле (64.5),
Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как , a , то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение примерно равно 0,84147.
Пример №65.2.
Вычислить число с точностью до 0,001.
Решение:
Подставляя в формулу (64.4), получим:
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем слагаемых и оценим ошибку :
т. е. . Остается подобрать наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство .
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при . Поэтому имеем:
Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена
где находится между 0 и . В последнем примере , . Так как , то . При имеем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: