Оглавление:
Некоторые приложения тройного интеграла
Объем тела
Объем области 
выражается формулой 
или
— в декартовых координатах,
— в цилиндрических координатах,
— в сферических координатах.
Масса тела
Масса тела 
при заданной объемной плотности 
вычисляется с помощью тройного интеграла как
где 
— объемная плотность распределения массы в точке 
.
Статические моменты
Моменты 
тела относительно координатных плоскостей 
вычисляются по формулам
Центр тяжести тела
Координаты центра тяжести тела находятся по формулам
Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
а моменты инерции относительно координатных осей:
Пример №54.4.
Найти объем тела, ограниченного поверхностями 
и 
.
Решение:
Данное тело ограничено сверху плоскостью , снизу — параболоидом (см. рис. 231). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:
Пример №54.5.
Найти массу шара 
, если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра тяжести).
Решение:
Уравнение сферы 
можно записать так: 
. Центр шара расположен в точке 
(см. рис. 232). Пусть — произвольная точка шара. Тогда, по условию, плотность определяется формулой
где 
— коэффициент пропорциональности, 
— расстояние от точки 
до начала координат.
Итак, 
Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение сферы примет вид 
, т. е. 
.
Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пределах: 
— от 0 до 
; 
— от 0 до 
; 
— от 0 до 
. Подынтегральная функция примет вид 
. Поэтому
Из соображений симметрии следует, что 
; вычислив интеграл 
, найдем 
. Итак, координаты центра тяжести 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
