Оглавление:
Понятие о непрерывности функции в точке является одним из основных понятий математического анализа. Существует несколько тождественных определений о функции, непрерывной в точке. В различных случаях целесообразно использование разных определений непрерывности.
Определение 1 (базовое). Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она определена в этой точке и её окрестности, и если существует конечный предел при 
, равный значению функции в этой точке: 
.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) функция определена в этой точке и её окрестности; 2) существуют конечные односторонние пределы при , равные между собой; 3) пределы равны значению функции в этой точке, т.е.
Данное определение удобно использовать при исследовании функций на непрерывность.
Функция непрерывна в интервале (
), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция непрерывна на отрезке 
, если она непрерывна в каждой точке интервала () и если 
.
Если не выполняется одно из условий непрерывности функции в точке, то эта точка является точкой разрыва. В зависимости от того, какие значения принимают односторонние пределы в точке разрыва, различают точки разрыва 1-го и 2-го рода. Точки разрыва 1-го рода: точки устранимого разрыва (
); точки скачка, когда конечные односторонние пределы не равны между собой. В точках разрыва 2-го рода, односторонние пределы не существуют или равны бесконечности.
Пример выполнения задания
Пример:
Задана функция 
. Найти точку разрыва функции и исследовать её характер.
Решение:
Заданная функция определена при всех значениях аргумента, кроме 
. Поэтому — точка разрыва функции. Определяем односторонние пределы в точке разрыва.
Пусть 
слева, т.е. выполняется неравенство 
. Тогда разность 
— отрицательная бесконечно малая величина. Выражение 
в этом случае — бесконечно большая отрицательная величина. Левосторонний предел: 
.
Пусть теперь справа, т.е. выполняется неравенство 
. Тогда разность 
— положительная бесконечно малая величина. Выражение в этом случае — бесконечно большая положительная величина. Правосторонний предел 
.
Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, точка — точка разрыва второго рода.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
