Для связи в whatsapp +905441085890

Непрерывность и частные производные в математике

Непрерывность и частные производные

Частным приращением функции Непрерывность и частные производные в математике или Непрерывность и частные производные в математике называют такое приращение функции, которое обусловлено изменением значения только одной из независимых переменных: Непрерывность и частные производные в математике или Непрерывность и частные производные в математике. Таким образом, имеем:

Непрерывность и частные производные в математике

Функция Непрерывность и частные производные в математике называется непрерывной в точке Непрерывность и частные производные в математике, если она определена как в самой точке, так и в некоторой ее окрестности, причем бесконечно малым приращениям ее аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция Непрерывность и частные производные в математике называется непрерывной в данной области, если она непрерывна в каждой точке рассматриваемой области. Здесь и далее будем предполагать, что для каждой рассматриваемой точки Непрерывность и частные производные в математике функция Непрерывность и частные производные в математике определена в некоторой окрестности этой точки.

Частной производной первого порядка функции двух независимых переменных Непрерывность и частные производные в математике по одной из переменных называют предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей переменной при условии, что последнее стремится к нулю.

Частные производные функции Непрерывность и частные производные в математике по переменным Непрерывность и частные производные в математике и Непрерывность и частные производные в математике имеют следующие обозначения:

Непрерывность и частные производные в математике

Следовательно, имеем:

Непрерывность и частные производные в математике

Заметим, что при определении частной производной по одной из переменных надо все остальные независимые переменные считать константами:

Непрерывность и частные производные в математике

Следовательно, частное дифференцирование не требует никаких новых правил дифференцирования и при выполнении этой операции можно пользоваться уже известными формулами.

Пример:

Найти частные производные функций:

Непрерывность и частные производные в математике

► 1. При определении Непрерывность и частные производные в математике независимая переменная Непрерывность и частные производные в математике рассматривается как постоянная величина. Применяя правило дифференцирования суммы, видим, что функция Непрерывность и частные производные в математике в этом случае рассматривается как постоянный множитель, а производная по Непрерывность и частные производные в математике от Непрерывность и частные производные в математике равна нулю как производная константы:

Непрерывность и частные производные в математике

При определении Непрерывность и частные производные в математике независимая переменная Непрерывность и частные производные в математике рассматривается как постоянная величина. Применяя правило дифференцирования суммы, видим, что функция Непрерывность и частные производные в математике в этом случае рассматривается как постоянный множитель:

Непрерывность и частные производные в математике
  • В этом случае вначале применим правило дифференцирования сложной экспоненциальной функции:
Непрерывность и частные производные в математике

Еще раз заметим, что при определении частной производной по любой из независимых переменных вторая переменная считается константой:

Непрерывность и частные производные в математике

Окончательно имеем:

Непрерывность и частные производные в математике

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Выпуклость графика функции. Точки перегиба в математике
Функция многих переменных в математике
Полное приращение и дифференциал в математике
Достаточное условие дифференцируемости в математике