Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными

Прямая на плоскости

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения. Тогда уравнение

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

определяет прямую Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения (рис. 26.1), пересекающую ось Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения в точке Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и образующую угол Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения с положительным направлением оси Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения где Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Число Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения называют угловым коэффициен-том прямой Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения.

Если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения то прямая Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения параллельна оси Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения; если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения, то прямая Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения образует с осьюНеравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения острый угол, а функция Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияявляется возрастающей; если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения, то прямая Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения образует с осью Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения тупой угол, а функция Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения является убывающей.

Для построения прямой Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения, заданной уравнением (1), достаточно найти две точки этой прямой. В качестве таких точек можно взять точки пересечения прямой Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения с осями координат.

На рис. 26.2 изображены прямые, заданные уравнениями Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияНеравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Рассмотрим уравнение

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

где хотя бы одно из чисел Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения, Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения не равно нулю. Если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения, то уравнение (2) можно записать в виде

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

т. е. в виде (1), где Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Следовательно, если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения то уравнение (2) представляет собой уравнение прямой.

Если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения то уравнение (2) можно записать в виде

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Это уравнение прямой, параллельной оси Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения.

Таким образом, если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения — заданные числа такие, что Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияодновременно не равны нулю, то уравнение (2) является уравнением некоторой прямой.

В случае, когда Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения уравнение (2) можно записать так:

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

где Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Уравнение (3) называется уравнением прямой в отрезках. Эта прямая пересекает ось Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения в точке Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и ось Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения в точке Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Например, уравнение

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

можно записать в виде Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения или в виде (3), т. е.

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Эта прямая (рис. 26.3) проходит через точки Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияЕсли прямая Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения, заданная уравнением (2), проходит через точку Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения то

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Вычитая из равенства (2) равенство (4), получаем

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Левую часть равенства (5) можно рассматривать как скалярное произведение векторов Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения где Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения — произвольная точка прямой Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения. Из (5) следует, что вектор Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения перпендикулярен прямой Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения (рис. 26.4).

Угол между прямыми

Пусть прямые Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияи Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решениязаданы соответственно уравнениями

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения, то прямые Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияи Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения параллельны.

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Пусть Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения тогда прямые Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения пересекаются в точке Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения , координаты которой удовлетворяют системе (1), (2). Пересекающиеся прямые Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения образуют две пары равных углов. Углом Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения между прямыми Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения называют наименьший из этих углов. Если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения — углы, образуемые прямыми Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияиНеравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения с осью Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения то Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияНеравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияи поэтому

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Если прямые Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения перпендикулярны и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения то Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решенияили

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Если Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения то Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения а прямой, которая перпендикулярна прямой Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения является любая прямая вида Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения т. е. прямая, параллельная оси Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения.

Пример №313.

Найти угол Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения между прямыми Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения и Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Решение:

По формуле (3), где Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решениянаходим

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

откуда Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения
Тригонометрические неравенства с примерами решения
Пример решения линейных неравенств с двумя переменными
Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения