Оглавление:
Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла от непрерывной функции на конечном отрезке.
Интегралы с бесконечными пределами
Пусть функция 
определена и непрерывна при всех значениях аргумента 
. Для такого бесконечного интервала понятие интегральной суммы не определено.
Если существует конечный предел от интеграла с переменным верхним пределом
то он называется несобственным интегралом от функции на интервале 
и обозначается интегралом, в верхнем пределе которого стоит знак бесконечности:
В этом случае несобственный интеграл существует (сходится). Если не существует конечного предела (7.6), то несобственный интеграл не существует (расходится).
Аналогично определяются несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами:
Формулы (7.6), (7.7), (7.8) кроме определения несобственного интеграла показывают способ его вычисления.
Интегралы от разрывных функций
Пусть функция определена и непрерывна при 
, а при 
либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле
как о пределе интегральных сумм, так как функция не является непрерывной на интервале 
.
Если существует конечный предел интеграла от разрывной при функции, то он называется несобственным сходящимся интегралом:
В противном случае интеграл называется расходящимся.
Если функция имеет разрыв при 
, то по определению
Если функция имеет разрыв при , где точка с лежит внутри интервала интегрирования 
, то
Пример:
Вычислить несобственные интегралы и установить их сходимость: a) 
б) 
Решение:
а) Интеграл с бесконечным верхним пределом вычисляем по формуле (7.6):
Интеграл сходится.
б) Несобственный интеграл имеет разрыв в нижнем пределе интегрирования функции, интеграл вычисляем по формуле (7.10):
Интеграл сходится.
О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
По сути вопроса можно сказать следующее:
- во-первых, всякая непрерывная на отрезке функция имеет на нем первообразную;
- во-вторых, не всякая первообразная может быть выражена комбинацией конечного числа элементарных функций.
Такие первообразные выражены интегралами 
и многими другими.
Применение формулы Ньютона — Лейбница в случае «не берущихся» интегралов затруднительно.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
