Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью 
, снизу — замкнутой областью 
плоскости 
, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси 
, а направляющей служит граница области (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем 
. Для этого разобьем область (проекция поверхности 
на плоскость ) произвольным образом на 
областей 
, площади которых равны 
. Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело 
. Обозначив объем столбика с основанием через 
, получим
Возьмем на каждой площадке произвольную точку 
и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой 
. Объем этого цилиндра приближенно равен объему цилиндрического столбика, т. е. 
. Тогда получаем:
Это равенство тем точнее, чем больше число и чем меньше размеры «элементарных областей» . Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок неограниченно увеличивается (
), а каждая площадка стягивается в точку (
), за объем цилиндрического тела, т. е.
или, согласно равенству (53.2),
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
