Для связи в whatsapp +905441085890

Обобщенные координаты

Обобщенные координаты

Как уже говорилось, для определения положения механической системы, на которую наложено m двусторонних связей, достаточно задать только Обобщенные координаты каких-либо независимых параметров, полностью определяющих положение этой системы. Число независимых параметров равно числу степенен свободы системы. Каждая новая связь будет на единицу уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых параметров, определяющих положение системы. Здесь всюду предполагается, что на систему наложены удерживающие связи. Независимые параметры, через которые могут быть выражены все декартовы координаты точек системы и которые полностью определяют положение последней, называются обобщенными координатами системы, или лагранжевыми координатами

(они были введены в механику Лагранжем). Эти лагранжевы координаты имеют вполне определенный геометрический смысл. Они вообще могут отличаться от декартовых координат, но могут также и включать в свое число одну или несколько декартовых координат. Обозначая k независимых параметров, через которые выражаются все декартовы координаты точек системы, через Обобщенные координаты будем иметь

Обобщенные координаты

Во всех случаях, когда декартовы координаты различных точек системы могут быть выражены в явном виде через систему независимых параметров Обобщенные координаты (которые можно изменять независимо один от другого), полностью определяющих положение системы, будем называть такую систему голономнон, а сами параметры Обобщенные координаты -координатами голономной системы. В этом случае можно утверждать, что на систему наложено Обобщенные координаты различных связей. Если из k уравнений системы (а) определить величины Обобщенные координаты в функции k величин из Обобщенные координаты и подставить в оставшиеся Обобщенные координаты уравнений (а), получим р зависимостей между координатами Обобщенные координаты которые и будут представлять собой уравнения связей. Условие разрешимости уравнений (а) относительно величин Обобщенные координаты сводится к тому, что в прямоугольной матрице из частных производных

Обобщенные координаты

содержащей k столбцов и Обобщенные координаты строк, хотя бы один из миноров k-того порядка будет отличен от нуля, т. е. матрица имеет ранг k.

Пусть значения параметров Обобщенные координаты определяют некоторое положение системы. Рассмотрим близкое к данному положение этой системы, которое определяется значениями параметров:

Обобщенные координаты

Тогда вариации декартовых координат получат вид

Обобщенные координаты

и все возможные перемещения системы можно будет задать при помощи вариаций независимых параметров Обобщенные координаты Пусть на точку системы с координатами Обобщенные координаты действует активная сила Обобщенные координаты Необходимое и достаточное условие равновесия

Обобщенные координаты

при помощи равенств (а) можно выразить через вариации независимых параметров

Обобщенные координаты

или, после изменения порядка суммирования,

Обобщенные координаты

Обозначив через Обобщенные координаты выражение, стоящее в квадратных скобках

Обобщенные координаты

и перепишем уравнение (d) в виде

Обобщенные координаты

Величины Обобщенные координаты называют обобщенными силами системы, соответствующими Обобщенные координаты обобщенной координате. В дальнейшем всегда будем предполагать, что параметры Обобщенные координаты выбраны так, что для каждого положения системы для любого Обобщенные координаты существует перемещение, определяемое условиями

Обобщенные координаты

и нет перемещений, при которых все Обобщенные координаты

Так, например, положение точки, вынужденной оставаться на окружности Обобщенные координаты определяется всего одним параметром. Но если в качестве такого параметра выбрать координату у, то при Обобщенные координаты частная производная Обобщенные координаты теряет смысл и координата у перестает удовлетворять определению лагранжевых координат. Нетрудно видеть, что при Обобщенные координаты возможному перемещению точки соответствует значение Обобщенные координаты а вариация координаты х становится неопределенной. Параметр у является координатой Лагранжа всюду, за исключением значений Обобщенные координаты

Так как все Обобщенные координаты совершенно произвольны и независимы, равенство (е) будет справедливо лишь тогда, когда все Обобщенные координаты обращаются в нуль, т. е. выполняются условия

Обобщенные координаты

Полученные k уравнений равновесия называются уравнениями Лагранжа. Они определяют k неизвестных значений обобщенных координат Обобщенные координаты соответствующих положению равновесия системы.

Выражение Обобщенные координаты представляет собой сумму работ всех активных сил, действующих на систему, на произвольном возможном перемещении системы, т. е.

Обобщенные координаты

Если сообщить системе возможное перемещение, соответствующее изменению только одной обобщенной координаты, например перемещение, определяемое условиями

Обобщенные координаты

и подсчитать работу сил Обобщенные координаты на этом перемещении, то получим соотношение для определения обобщенной силы

Обобщенные координаты

Так можно подсчитать все обобщенные силы системы.

Если существует силовая функция Обобщенные координаты то Обобщенные координаты и, выразив силовую функцию через обобщенные координаты Лагранжа, получим

Обобщенные координаты

В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии свободного твердого тела. Для определения его положения зададим координаты произвольной точки С твердого тела (рис. 130). Свяжем с точкой С декартову систему прямоугольных осей Обобщенные координаты перемещающихся поступательно, и систему Обобщенные координаты неизменно связанную с твердым телом. Положение последней системы относительно осей Обобщенные координатыопределим углами Эйлера Обобщенные координаты Каждую из шести величин Обобщенные координаты можно изменять независимо от других. Все они полностью определяют положение твердого тела в пространстве. Если все названные параметры остаются неизменными, то не будет двигаться и твердое тело. Параметры Обобщенные координаты являются определяющими координатами системы. Декартовы координаты произвольной точки твердого тела могут быть выражены через эти параметры. В самом деле, для произвольной точки твердого тела имеем

Записав таблицу направляющих косинусов углов, образованных осями Обобщенные координаты с осями Обобщенные координаты

Обобщенные координаты

заметим, что система Обобщенные координаты может быть получена из системы Обобщенные координаты тремя конечными поворотами (рис. 131), которые определяются следующими формулами преобразования:

Обобщенные координаты

Тогда результирующее преобразование получит вид

Обобщенные координаты

Сравнивая полученные формулы с выражениям»

Обобщенные координаты

получим значения направляющих косинусов, выраженных через углы Эйлера

Обобщенные координаты

Эти формулы устанавливают явную зависимость декартовых координат от независимых параметров, определяющих положение твердого тела.

Возможные скорости точек Обобщенные координаты твердого тела удовлетворяют формуле Эйлера

Обобщенные координаты

Для проекций возможных скоростей точек твердого тела на оси получим

Обобщенные координаты

Отсюда сразу находим проекции возможных перемещений точек системы

Обобщенные координаты

Полученные формулы устанавливают зависимость возможных перемещений от проекций мгновенной угловой скорости твердого тела Обобщенные координаты Последние определяют только возможные перемещения твердого тела. Декартовы координаты x у, z точек твердого тела не могут быть выражены через Обобщенные координаты

Предполагая, что на точки твердого тела действуют активные силы Обобщенные координаты запишем принцип Бернулли в виде

Обобщенные координаты

где

Обобщенные координаты

Тогда после подстановки будем иметь

Обобщенные координаты

или

Обобщенные координаты

откуда следует

Обобщенные координаты

Это уравнение должно выполняться при любых возможных перемещениях твердого тела, находящегося в равновесии, т. е. при произвольных значениях Обобщенные координаты что возможно, если удовлетворяются условия

Обобщенные координаты

являющиеся известными уравнениями равновесия твердого тела.

Пример:

Два одинаковых стержня АС и СВ, каждый длиной Обобщенные координаты и весом Р, связаны между собой шарниром С и опираются на неподвижный цилиндр радиуса r с горизонтальной осью (рис. 132). Найти угол Обобщенные координаты при равновесии системы и угол который биссектриса этого угла составляет с вертикалью.

Обобщенные координаты

Решение:

Параметры Обобщенные координаты полностью определяют положение системы и потому могут рассматриваться как лагранжевы координаты. Тогда уравнения равновесия получат вид

Обобщенные координаты

Первое из этих уравнении получаем, полагая что Обобщенные координаты не изменяется при возможных перемещениях системы. Определив координату Обобщенные координаты центра тяжести системы

Обобщенные координаты

получим уравнение равновесия

Обобщенные координаты

Полагая, что при возможных перемещениях но изменяется Обобщенные координаты получим

Обобщенные координаты

Этим уравнениям удовлетворяют следующие решения:

Обобщенные координаты что возможно только при Обобщенные координаты и угол Обобщенные координаты определяется из уравнения

Обобщенные координаты

Обобщенные координаты что возможно, когда Обобщенные координаты угол Обобщенные координаты здесь определяется из уравнения

Обобщенные координаты

и, следовательно, должно бить выполнено условие Обобщенные координаты Стержень АС не оторвется от цилиндра только тогда, когда угол Обобщенные координаты будет отрицательным. Последнее выполняется только при Обобщенные координаты что противоречит условию для определения Обобщенные координаты.

Если Обобщенные координаты то уравнения равновесия имеют еще одно решение: Обобщенные координатыобразующее в нуль выражения, стоящие в круглых скобках.

Замечание. При определении обобщенных сил необходимо следить за тем, чтобы все обобщенные силы определялись в одной и той же системе независимых переменных. Поясним это на примере.

Пример:

Система состоит из двух материальных точек А и В, связанных между собой нерастяжимой нитью АВ длины и Обобщенные координаты соединенных с неподвижной точкой О нерастяжимой нитью длиной (рис. 133). К точке А приложена вертикальная сила Обобщенные координаты к точке В — горизонтальная сила Обобщенные координаты Определить положение равновесия системы.

Решение:

Выберем сначала за независимые переменные углы Обобщенные координатыкоторые образуют соответствующие нити с вертикалью. Определяй обобщенные силы в этой системе переменных, получим

Обобщенные координаты

откуда имеем следующие условия равновесия:

Обобщенные координаты

F-сли же за независимые переменные выбрать углы Обобщенные координаты (Обобщенные координаты определен выше, а Обобщенные координаты угол между направлениями нитей), то уравнения равновесия получат вид

Обобщенные координаты

Обобщенные координаты

хотя условия равновесия и не изменяются.

Обобщенные координаты

Пример:

Определить выражение обобщенной силы для твердого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси z.

Решение:

Возможное перемещение сводится к повороту вокруг не-подвижной оси. Примем эту ось за ось z. Тогда для определения проекций возможных перемещений можно будет записать матрицу Обобщенные координаты

откуда будем иметь

Обобщенные координаты

Подсчитывая работу активных сил на этом возможном перемещении,

Обобщенные координаты

где

Обобщенные координаты

представляет собой сумму моментов активных сил относительно оси г, т. е. обобщенная сила сводится к моменту результирующей пары.

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Принцип Торричелли
Связи и возможные перемещения
Общие теоремы о равновесии системы материальных точек
Метод неопределенных множителей Лагранжа