Обратная функция
Пусть задана функция 
с областью определения 
и множеством значений 
. Если каждому значению 
соответствует единственное значение 
, тo определена функция 
с областью определения и множеством значений (см. рис. 102). Такая функция 
называется обратной к функции 
и записывается в следующем виде: 
. Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение 
относительно 
(если это возможно).
Примеры:
- Для функции
обратной функцией является функция 
- Для функции
, обратной функцией является 
; заметим, что для функции 
, заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению 
соответствует два значения (так, если 
, то 
).
Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), го обратная функция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через , а зависимую переменную через , то функция обратная функции запишется в виде 
.
Это означает, что точка 
кривой становится точкой 
кривой . Но точки 
и 
симметричны относительно прямой 
(см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Основные теоремы о пределах |
| Признаки существования пределов |
| Сложная функция |
| Основные элементарные функции |
