Оглавление:
Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке оси симметрии которого параллельны координатным осям и и полуоси соответственно равны и . Поместим в центре эллипса начало новой системы координат , оси которой и параллельны соответствующим осям и и одинаково с ними направленны (см. рис. 63).
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид
Так как (формулы параллельного переноса, см. с. 62), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями и (см. рис. 64):
И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.
Уравнение
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида
где коэффициенты и не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.
Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при ), либо эллипс (при ), либо гиперболу (при ), либо параболу (при ). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.
Пример №11.1.
Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .
Решение:
Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и .
Дополнительные примеры:
Общее уравнение второго порядка
Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:
Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат (). Можно, путем поворота координатных осей на угол , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.
Используя формулы поворота осей (с. 63)
выразим старые координаты через новые:
Выберем угол так, чтобы коэффициент при обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство
т. е.
т. е.
Отсюда
Таким образом, при повороте осей на угол , удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).
Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
Замечание: Если , то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае (см. (11.16)), тогда , т. е. . Итак, при систему координат следует повернуть на .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Гипербола |
Парабола |
Плоскость. Основные задачи |
Уравнения прямой в пространстве |