Оглавление:
Общий метод решения дробных неравенств
Один из самых общих методов решения дробных (не обязательно рациональных) неравенств состоит в сведении неравенства к равносильной ему совокупности двух систем, например:
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35314.png)
Заметим также, что
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35317.png)
Если решаемое неравенство имеет вид
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35321.png)
(знак здесь заменяет любой из знаков неравенств), то, как правило, его следует привести к стандартному виду и уже затем решать:
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35326.png)
где
Пример №206.
Решить неравенство
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35331.png)
Решение:
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35348.png)
Далее неравенство решается методом интервалов (см. о методе интервалов далее).
Ответ:
В следующем примере необходимо найти графический образ решения неравенства с двумя неизвестными на соответствующей координатной плоскости.
Пример №207.
На плоскости Оху изобразить множество точек (x;y) координаты которых удовлетворяют неравенству
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35372.png)
Решение:
Преобразуем неравенство:
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35375.png)
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35384.png)
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35388.png)
Графическим образом решений первой системы является пересечение внешней части круга единичного радиуса с центром в точке (1;0) и полуплоскости х < 0. Решение же второй системы на координатной плоскости представляет собой пересечение замкнутого круга единичного радиуса с центром в (1;0) и полуплоскости x > 0. Объединяя обе фигуры, получим окончательно ГМТ, изображённое на рисунке.
Замечание. Если в неравенстве вида
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35402.png)
( P(x),Q(x) — любые функции, а знак v заменяет любой из знаков неравенства) один из сомножителей неотрицателен (неположителен) на ОДЗ, то обычно рассматривают два случая: 1) когда он равен нулю или 2) сохраняет постоянный знак. В первом случае все его корни проверяют, являются ли они решениями неравенства, а во втором случае на этот сомножитель делят обе части неравенства (с учётом знака), и получают в результате более простую задачу.
Пример №208.
Решить неравенство
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35403.png)
Решение:
Переписав неравенство в виде , заметим, что в левой его части содержится неотрицательный сомножитель
. Очевидно, x = 1 является решением. Чтобы найти оставшиеся (не равные единице!) решения, разделим неравенство на
, и придём к неравенству
.
Ответ:
Пример №209.
Решить неравенство
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35409.png)
Решение:
ОДЗ: . Очевидно, что x = — 4 является решением данного неравенства. Найдём другие решения. Итак, пусть x > — 4, тогда поделив обе части неравенства на положительное выражение —
(с сохранением знака неравенства), придём к равносильному неравенству
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35412.png)
Решая последнее неравенство и учитывая ОДЗ, получаем . Объединяя полученный промежуток с ранее найденным решением, приходим к ответу.
Ответ:
Пример №210.
Решить неравенство
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35415.png)
Решение:
Заметим, что x = 0 является решением неравенства. Чтобы найти ненулевые решения, поделим обе части на |х| (|х| > 0), и сведём, таким образом, задачу к решению биквадратного неравенства:
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35416.png)
После сокращения на положительное выражение получаем неравенство
.
Ответ:
Пример №211.
Решить неравенство
![Общий метод решения дробных неравенств](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-35420.png)
Решение:
ОДЗ: . Поскольку на ОДЗ сомножитель
положителен, поделим на него обе части неравенства, получив равносильное неравенство
. Решением неравенства является интервал
. С учётом ОДЗ получаем:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: