Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Многочлен Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением называют однородным многочленом степени Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, если Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Например, многочлен Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением является однородным многочленом третьей степени. Система двух уравнений с двумя неизвестными вида

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

является однородной, так как левые части уравнений (1) и (2) представляют собой однородные многочлены второй степени.

Рассмотрим сначала пример однородной системы, в которой одно из чисел Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением равно нулю.

Пример №171.

Решить систему уравнений

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Решение:

Если положить Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, то из уравнения (3) находим Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением. Но пара чисел Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением не удовлетворяет уравнению (4). Поэтому,

разделив обе части уравнения (3) на Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением , получим уравнение

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

которое вместе с уравнением (4) образует систему, равносильную исходной. Из уравнения (5) находим, что Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением или Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением т. е. Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением или Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Поэтому исходная система равносильна совокупности следующих систем:

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Из первой системы получаем уравнение Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, не имеющее действительных корней.

Решив вторую систему, находим два решения Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением и Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решениемисходной системы.

Ответ. Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением.

Рассмотрим теперь однородную систему вида (1), (2), в которой Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Пример №172.

Решить систему уравнений

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Решение:

Первый способ. Сведем эту систему к системе того же вида, у которой одно из чисел Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением равно нулю. Умножим первое уравнение на Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, а второе на Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением и сложим полученные уравнения.

В результате придем к уравнению

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

которое вместе в первым уравнением образует систему, равносильную данной. Как и в предыдущем примере, пара чисел Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением не является решением исходной системы. Поэтому последнее уравнение равносильно уравнению

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

откуда Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Если Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением то из первого уравнения исходной системы получаем Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением, откуда Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением и, следовательно, Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

х2 = 2.

Аналогично, если Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением то Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Ответ. Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решениемОднородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Второй способ. Разделим почленно уравнения данной системы, а затем разделим числитель и знаменатель в левой части полученного уравнения на Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением. В результате придем к уравнению

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

которое можно записать в виде

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

где Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением Уравнение (7) совпадает с уравнением (6).

Рассмотрим теперь систему, у которой левые части уравнений являются однородными многочленами третьей степени.

Пример №173.

Решить систему уравнений

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Решение:

Разложив левые части уравнений на множители, запишем систему в виде

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Разделив уравнения этой системы почленно, получим уравнение

Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

которое вместе с первым уравнением исходной системы образует систему, равносильную исходной.

Полагая Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением получаем Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением откуда Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением т. е. Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решениемЕсли Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением то из первого уравнения находим Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением откуда Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением (другие корни уравнения Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением не являются действительными) и поэтому Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Аналогично, если Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением то Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением откуда Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Ответ.Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения
Системы линейных уравнений с примерами решения
Симметрические системы примеры с решением
Решение других типов систем алгебраических систем уравнений