Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса 
с центром в точке 
называется множество всех точек 
плоскости, удовлетворяющих условию 
. Пусть точка в прямоугольной системе координат 
имеет координаты 
, а 
— произвольная точка окружности (см. рис. 48).
Тогда из условия получаем уравнение
то есть
Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки
данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.
В частности, полагая 
и 
, получим уравнение окружности с центром в начале координат 
.
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид 
. При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1) коэффициенты при 
и 
равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение 
текущих координат.
Рассмотрим обратную задачу: Положив в уравнении (11.1) значения 
и 
, получим
Преобразуем это уравнение:
т.е.
т.е.
Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии 
. Ее центр находится в точке 
, а радиус
Если же 
, то уравнение (11.3) имеет вид
Ему удовлетворяют координаты единственной точки этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).
Если 
, то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть — не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Уравнения прямой на плоскости |
| Прямая линия на плоскости |
| Эллипс |
| Гипербола |
