Определение деформаций при изгибе

Определение деформаций при изгибе

• Определение изгибной деформации При изгибе деформация поперечного сечения стержня (рис. 5.24, а) определяется смещением в центре масс поперечного сечения, перпендикулярного исходному положению оси стержня (называемого прогибом), и углом поворота поперечного сечения относительно исходного положения. Будет. Чтобы найти все деформации поперечного сечения по длине стержня, нам нужно получить зависимости y-y (; c) и = = 9 (x).

Касательная к оси кривой стержня в любой точке стержня находится под углом, равным углу поворота сечения в этой точке относительно исходной оси. Тангенс тангенса наклона tg9 = dy / dx. Однако, поскольку фактическое значение угла поворота поперечного сечения при изгибе невелико (порядка 1/1000 радиан), тангенс угла угла равен yuia (tg0 «0), а угол поворота поперечного сечения и зависимости 0 ~ Вы можете найти отношение отклонения в виде dyldx.

Первое называется уравнением оси кривой или уравнением отклонения. Людмила Фирмаль

Mi> 0 Y Ми <0 О тебе «> у «<О y «> ОМ„ <0 у «<О М> 0 г Рисунок 5.24 Из математического процесса известна следующая зависимость кривизны линии L «в плоскости XOY. K = ± (d2 yIdx2) / (1+ (dy / dx) 2) 3/2. (5,41) Однако, поскольку (dy / dx) 2 = tg20 = b2 «1, формула (5.41) имеет вид K = ± (d2y / dx2). (5,42) Используя зависимость (5.34), соедините кривизну оси стержня с изгибающим моментом Mn и жесткостью сечения E1 {. (5,43) (5,44) K = \ / p = MJ (EIz). Сравнивая уравнения кривизны, полученные в зависимостях (5.42) и (5.43), можно получить дифференциальное уравнение оси изгиба стержня. ± (d2y / dx2) = МДж (EIz),

Его интеграция не сложная. Выбор знака в уравнении (5.44) определяется используемой системой координат. Ранее принятый символ Л / и изгибающего момента (рисунок 5.24, б — е) не зависит от направления осей. Кривизна линии положительна, т. Е. Y «= ^ y / cbc2> 0, когда вогнутая поверхность кривой совпадает с положительным направлением оси ОА (рис. 5.24, б, д), и наоборот (рис. 5.24, в, г) В направлении приема оси ОК знак слева и справа.

• Уравнение (5.44) всегда одинаково. Если y «> 0 и Mn> 0, а f ‘<0 и // <0. Поэтому выражение (5.44) можно выразить как: (5,45) Интегрирование уравнения (5.45) еще раз дает уравнение отклонения Где C и D — интегральные постоянные, определенные из граничных условий. Граничное условие является условием крепления изогнутого стержня. Следовательно, для стержня, который прочно закреплен на одном конце, как отклонение поперечного сечения, так и угол поворота должны быть равны нулю в точке крепления. Для стержней, прикрепленных к шарнирным креплениям, прогиб крепления равен нулю.

Пример 5.4. Нагрузка приложена к концу силой концентрации F. Жесткость стержня постоянна с длиной, равной EI. Получите начало координат в точке B, которая является жесткой фиксированной точкой стержня. Ось OK направлена ​​вверх, а ось находится справа от OX ~. Для любого сечения на расстоянии x от начала координат изгибающий момент равен L / и = -F (l-x). Дифференциальное уравнение (5.45) оси кривой принимает вид EI (d2y / dx2) -F (l-x).

Определить угол отклонения и угла поворота свободного конца кантилевера длины / стержня (рис. 5.24, а). Людмила Фирмаль

Интегрирование этого уравнения дает EI (dy / dx) = -F (lx-x2 / 2) + C. При дальнейшей интеграции получается уравнение отклонения. Ely-F (lx2 / 2-x / 6) + Cx + D dO / dx = MK / (EIZ). Чтобы найти уравнения, определяющие деформацию стержней или их угловые и линейные перемещения, необходимо интегрировать уравнение (5.45). После интеграции вы получите уравнение угла поворота Учитывая, что точка взгляда в точке x = 0, прогиб y и угол поворота Q = dy / dx сечения равны нулю, можно видеть, что константы интегрирования C-0 и Z> = 0. Далее свободный конец стержня в точке x = 1 y = -Lg / (ZEG) и угол поворота Q-dy / dx = -Fl2 / (2EI) конца. Знак «-» в представлении угла отклонения и поворота указывает на то, что отклонение выполняется в направлении, противоположном положительному направлению оси OY. Если вы установите его, край будет вращаться по часовой стрелке.

Смотрите также:

Решение задач по прикладной механике

Определение нормальных напряжений при изгибе	Понятие о теориях прочности
Определение касательных напряжений при изгибе	Изгиб с кручением стержней круглого поперечного сечения

Если вам потребуется помощь по прикладной механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.