Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси силы давления на его опоры (подшипники и подпятники) могут, вообще говоря, значительно отличаться от тех сил давления, которые испытывают опоры при отсутствии вращения тела.

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Пусть какое-либо твердое тело под действием приложенных к нему внешних заданных сил

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

равномерно вращается вокруг неподвижной оси Определение динамических реакций опор вращающегося тела, закрепленной в подпятнике Определение динамических реакций опор вращающегося тела и подшипнике Определение динамических реакций опор вращающегося тела (рис. 233, а).

Освободив мысленно тело от связей, заменим действие на него подпятника Определение динамических реакций опор вращающегося тела и подшипника Определение динамических реакций опор вращающегося тела их реакциями. Разложим эти реакции на составляющие Определение динамических реакций опор вращающегося телаОпределение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Реакции опор, возникающие при вращении тела, называются динамическими. Для их определения воспользуемся методом кинетостатики.

Условно приложим ко всем материальным частицам тела силы инерции этих частиц. Во всякий момент вращения тела приложенные к нему внешние силы, силы реакции связей и силы инерции всех частиц тела удовлетворяют условиям равновесия и потому к ним можно применить известные из статики (§ 36) шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

В данном случае эти уравнения принимают вид:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Вычислим сначала суммы проекций сил инерции всех точек тела на каждую из трех координатных осей и суммы моментов этих сил относительно тех же осей.

Разложим силу Определение динамических реакций опор вращающегося тела инерции каждой Определение динамических реакций опор вращающегося тела точки тела (рис. 233, а) на тангенциальную Определение динамических реакций опор вращающегося тела силу инерции и нормальную Определение динамических реакций опор вращающегося тела силу инерции.

Так как тело вращается равномерно, то Определение динамических реакций опор вращающегося тела Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела. Нормальная сила инерции Определение динамических реакций опор вращающегося тела Таким образом, полная сила инерции точки

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

и направлена по соответствующему радиусу от центра.

Проектируя силу инерции каждой точки Определение динамических реакций опор вращающегося тела тела на координатные оси (рис. 233, б) и пользуясь равенствами

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

полученными из формул (138) для координат центра масс, найдем:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Для вычисления сумм моментов сил инерции относительно координатных осей воспользуемся формулами (36):

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

так как линия действия Определение динамических реакций опор вращающегося тела пересекает ось Определение динамических реакций опор вращающегося тела.

Сумма, составленная из произведений массы каждой материальной частицы тела на две координаты этой частицы в какой-либо прямоугольной системе координатных осей, называется центробежным моментом инерции тела относительно двух соответствующих осей. Обозначая соответственно

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

будем иметь:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Подставляя найденные выражения для составляющих сил инерции и моментов этих сил в уравнения равновесия тела, окончательно получим:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Последнее из полученных уравнений удовлетворяется тождественно. При Определение динамических реакций опор вращающегося тела, согласно равенству (182)

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Третье из этих уравнений

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

позволяет сразу определить составляющую реакции подпятника, направленную вдоль оси вращения. Как видно из уравнения, эта составляющая не зависит от угловой скорости Определение динамических реакций опор вращающегося тела.

Первое, второе, четвертое и пятое из уравнений (213) служат для определения динамических реакций опор, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Как видно из этих уравнений, они зависят не только от внешних заданных сил, но еще и от угловой скорости вращения тела.

Полагая в этих уравнениях Определение динамических реакций опор вращающегося тела, мы получим уравнения для определения составляющих статических реакций опор, которые действовали бы па ось вращения в том случае, если бы под действием тех же самых заданных внешних сил тело находилось в покое.

При вращении тела динамические составляющие реакций опор могут быть значительно больше статических. Они зависят, очевидно, от величии Определение динамических реакций опор вращающегося тела особенно от величины угловой скорости Определение динамических реакций опор вращающегося тела тела. В современной технике угловые скорости вращающихся тел могут быть весьма большими и потому определение динамических реакций опор таких тел является важной инженерной задачей.

Из уравнения (213) видно, что реакции опор не будут зависеть от угловой скорости вращения тела, если будут соблюдены следующие условия:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Проходящая через центр тяжести тела ось Определение динамических реакций опор вращающегося тела, для которой центробежные моменты инерции Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела, содержащие в своих индексах наименование данной оси, равны пулю, называется гласной центральной осью инерции гола.

Вращающееся тело, реакции опор которого не от величины угловой скорости и углового ускорения гола, называется динамически уравновешенным.

Равенства (214) выражают, таким образом, следующее условие: для того чтобы вращающееся тело было динамически уравновешенным, его ось вращения должна быть одной из главных центральных осей инерции тела.

Для упрощения вывода нами был рассмотрен случай равномерного вращения тела, но установленные условия (214) динамической уравновешенности остаются справедливыми и при неравномерном вращении тела.

Если тело имеет ось симметрии, то эта ось будет одной из главных центральных осей инерции тела, так как для нее удовлетворяются условия (214).

Чаше всего вращающимся деталям машин и придают форму тел вращения, с тем чтобы они вращались вокруг своих осей симметрии. Если же из-за неизбежных погрешностей изготовления ось вращения тела не будет точно совпадать с его осью симметрии или если ось вращения тела не является его осью симметрии по характеру конструкции (например, коленчатого вала), то специальными приемами (динамической балансировкой тела) добиваются совпадения оси вращения тела с сто главной центральной осью инерции. В основе динамической балансировки тела лежит то положение, что прибавлением (или удалением) двух точечных масс, лежащих в произвольно выбранных плоскостях, перпендикулярных к оси вращения тела, последнюю всегда мох но сделать главной центральной осью инерции тела.

Выбор величины Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела этих масс, а также их координат Определение динамических реакций опор вращающегося тела в плоскости Определение динамических реакций опор вращающегося тела, и Определение динамических реакций опор вращающегося тела в плоскости Определение динамических реакций опор вращающегося тела производится с помощью уравнений:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

где Определение динамических реакций опор вращающегося тела — масса тела, Определение динамических реакций опор вращающегося тела — координаты его центра масс, Определение динамических реакций опор вращающегося тела — центробежные моменты инерции тела, вычисленные до присоединения к телу масс Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела.

Для определения шести неизвестных величин из четырех последних уравнений двумя из них, например Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела или Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела, нужно, конечно, задаться.

При определении динамических реакций опор обычно бывает удобней составлять с помощью метода кинетостатики уравнения равновесия для каждого конкретного случая, а не пользоваться готовыми уравнениями (213).

Пример задачи:

Крестовика Определение динамических реакций опор вращающегося тела (рис. 234), на концах которой находятся точечные грузы Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела равного веса Определение динамических реакций опор вращающегося тела, равномерно вращается вокруг вертикальной оси Определение динамических реакций опор вращающегося тела. проходящей через середину длины крестовины. Пренебрегая весом крестовины, определить реакции подпятника Определение динамических реакций опор вращающегося тела и цилиндрического подшипника Определение динамических реакций опор вращающегося тела в тот момент, когда крестовина Определение динамических реакций опор вращающегося тела находится в плоскости Определение динамических реакций опор вращающегося тела. Известны расстояния: Определение динамических реакций опор вращающегося телаОпределение динамических реакций опор вращающегося тела и жесткий угол Определение динамических реакций опор вращающегося тела между крестовиной и осью вращения Определение динамических реакций опор вращающегося тела.

Решение:

Пользуясь методом кинетостатики, условно присоединим к силам, действующим на крестовину, силы инерции точечных грузов Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела. Так как крестовина вращается равномерно Определение динамических реакций опор вращающегося тела, то касательные составляющие сил инерции грузов равны нулю. Центробежные силы инерции грузов равны по модулю

Определение динамических реакций опор вращающегося тела
Определение динамических реакций опор вращающегося тела

В момент, когда крестовина находится в плоскости Определение динамических реакций опор вращающегося тела, действующие на нее активные силы Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела и центробежные силы инерции грузов лежат в той же плоскости. Следовательно, в этой же плоскости будут лежать и реакции связей. Неизвестную по направлению реакцию подпятника раскладываем на составляющие Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела. Реакция Определение динамических реакций опор вращающегося тела подшипника перпендикулярна к его осн.

Составляем уравнения равновесия плоской системы сил

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

откуда

Определение динамических реакций опор вращающегося тела
Определение динамических реакций опор вращающегося тела
Определение динамических реакций опор вращающегося тела
Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Из последнего уравнения находим:

Определение динамических реакций опор вращающегося тела

Если бы крестовина ее вращалась, то горизонтальные реакции связен Определение динамических реакций опор вращающегося тела и Определение динамических реакций опор вращающегося тела равнялись бы нулю, и следовательно, подшипник и подпятник не испытывали бы боковых давлений. При вращении же крестовины эти реакции (а следовательно, и боковые давления на связи) пропорциональны квадрату угловой скорости крестовины и могут достигать весьма большой величины. При вращении крестовины возникающие динамические реакции вызывают биение вала в подшипниках и усиленный их износ.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Кинетическая энергия твердого тела с примерами решения
Метод кинетостатики в теоретической механике с примерами решения
Возможные перемещения системы. Число степеней свободы
Идеальные связи в теоретической механике