Для связи в whatsapp +905441085890

Определение несобственных интегралов

Определение несобственных интегралов
Определение несобственных интегралов
Определение несобственных интегралов
Определение несобственных интегралов
Определение несобственных интегралов
Определение несобственных интегралов
Определение несобственных интегралов
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Определение несобственных интегралов

Определение несобственных интегралов. Неограниченная функция на отрезке не интегрируется по Риману на нем (теорема 1,§ 27.2).Если функция определена в бесконечном интервале, то определение интеграла применяется только к функции, определенной в интервале, поэтому его нельзя объяснить о его Интеграле Римана. В этом разделе обобщается понятие интеграла как для случая функции, определенной с неограниченным интервалом, так и для случая неограниченной функции, определенной с ограниченным интервалом. Определение 1.Функция [конечный или бесконечный полупериод[a, b), co a 6. = Определяется ^ + 00 и считается интегрируемым по Риману в любом интервале[a, r|], a> r / 6.

Это делается с переходом к пределу, в дополнение к пределу, на котором вводится интеграл Римана. Людмила Фирмаль
  • Если он существует Mn (x) Yx, функция/называется интегрируемой в несоответствующем » В замкнутом смысле интервалов[a, b) указанный предел называется его неправильным интегралом、 Но… Итак (рис. 130)} (x) yx ^ Fri] {(x) yx. (33.1) Если предел (33-1) существует(и поэтому конечен)、 Также неправильный Интеграл Иначе она будет расходиться. В отличие от неправильных интегралов, обычный Интеграл Римана иногда называют его собственным интегралом. Наличие неправильного интеграла§ / (x) xx эквивалентно Наличие неправильного интеграла / / (x) х ce (a, b). фактически, Интеграл/(x) cx отличается от интеграла Святой Грааль^ {(x) dx (для e m]&) не зависит от [M]на конечном Граале、 Количество^ /(х) ух. Таким образом, для x\ * Интеграл$и 5 являются Или если нет предела и есть Из неверных интегральных определений(33.1) и (33.2).

Если Интеграл^ {(x) xx сходится、 Заметим, что интеграл не может быть принят в качестве определения конвергентного интегрирования (x) χ. §/(х) ух неуместен、 если вы исчезаете до нуля как c + b, у вас может быть только неадекватное определение сходящихся интегралов. Если функция/неотрицательна и непрерывна на интервале[i, b)、 Тогда несобственный Интеграл$ /(х) Равняется площади неограниченного открытого множества Действительно (если конечный b показан на рисунке 131), выберите несколько последовательностей ck e [x, b).k= 1, 2, … Итак, тгr \ K = B и положим Тогда, согласно теореме§ 32.1 1 K 1, 2, потому что Ok-это открытый набор.

  • Тогда по теореме 2. 31.2 Согласно определению неправильного интеграла Итак, когда мы достигнем предела эквивалентности k °°(33.5), мы получим (33.4). Неправильное интегральное определение (33.1) § / (х) DX [я, б) Только если функция[не ограничена какой-либо окрестностью точки x = b, то есть любым интервалом (b-e, b) (0 e& i). она может быть интегрируемой по Риману на любом интервале[i, m}], A ^ r] Cb + oo (для удобства отображения), и все функции, ограниченные полуинтервалом[i, b), являются Он интегрируется Риманом, и сечение[i, b]относительно расширения в точке x = b кроме того, Интеграл Римана функций, определенных таким образом, равен пределу (33.1) и поэтому не зависит от выбора дополнительных значений функции x = b. In этот смысл, Интеграл Римана является частным случаем неправильного integral.

So, остальные веса представления имеют смысл только в том случае, если функция определена с бесконечным интервалом или конечна, а в последнем случае они неограниченны(рис.132). Упражнение. 1.Функция (полуинтервал[a, разделенный b) является co a b + oe и делает Интеграл Римана возможным на любом интервале [a, d), и t] b. In в этом случае предел тm \ {(x) c1x всегда равен Если функция / существует и функция / определена произвольно для x = b, то этот предел равен интегралу Римана интервала / [a, b \от указанной функции. 2.

Значение здесь понимается в том смысле, что для ограниченного подынтегрального выражения, определенного в ограниченном интервале, теорема, доказанная ниже, тривиальна или доказана ранее. Людмила Фирмаль
  • Пример неотрицательной функции a 非> 1, она неограничена в любой окрестности+с функцией+, и неправильный Интеграл сходится Если функция^определена в полуинтервале вида (a, b] 9 ao a b + co и Римана интегрируемы во всех сегментах kax [ ^ , b], то неправильный Интеграл Делается это по формуле Однако, если функция/определена в интервалах (a, b)、-°°= ^-(-°°、 и для выбора точек ce (a, b) Неверный Интеграл (/(x) хχ (значение (33.6)))) и ^ 1 (х) DX (значение (33.1)) по определению、 Кроме того, существование и значение интеграла Из выбора точек ce (a, b). фактически, в рассматриваемом случае функция / явно интегрируема по Риману в любом отрезке [ / Где правая сторона-предел функции 2 переменных.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Работа силы. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов.
Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой. Несобственные интегралы от неотрицательных функций.