Оглавление:
Определение постоянных интегрирования в классическом методе
Определение констант интегрирования классическим способом. Как известно из предыдущего, свободный ток или свободное напряжение могут быть выражены в виде суммы экспоненциальных членов. Количество полных слагаемых равно числу корней в характеристическом уравнении.
- Таким образом, для двух действительных неравных корней трех действительных неравных корней <ce = 4 «. Для любой схемы, мы можем видеть, что: 1) при t = 0+ Требуемое значение свободного тока льда представляет собой первую производную льда (0+) 2) первое число и, необязательно, свободную производную, взятую при f ~ 0 +.
используя уравнение Кирхгофа и закон переключения Людмила Фирмаль
Значение первой производной тока обозначено как i’ce (0,.). Значение второй производной свободного тока при t = 0+ обозначено как & (0+) и т. Д. Подумайте, как определить интегральную константу A, …, Zce (0+), <^ (0+) и & (0+), и известное уравнение характеристики цепочки установки значения корня p19 представляет собой линейное уравнение
В случае ice = Aept постоянная интегрирования A определяется значением свободного тока efe (0+): Л = / „(0+). (10.15) Если характеристическое уравнение является квадратичным, а его корни не равны действительному числу, + ЛЧ (Ю.16) Это уравнение во времени: ice = PtA ^ + p2L2 ^.
- Запишите уравнения (10.16) и (10.16 ‘) для (10.16’) / = 0 (учитывая случай t-0-eM = 1). = (10.17) ice (0+) = pxAx + p2L2. (10.17 ‘) В этой системе уравнений известны 1 £ B (0+), 4D0D p ± и p2. Неизвестно Lh и Ay. Совместное решение (10.17) и (10.17 ‘) выглядит следующим образом: l (Qf) P ^ ce (0-b) • (10.17 «) 1
Если корень характеристического уравнения Pl-Pr является комплексно сопряженным, свободный ток имеет вид: = Ae ~, если sin (q + v (10.18) Угловая частота ω0 и коэффициент ослабления b известны из решения характеристического уравнения, где
два неизвестных A и v имеют значения ife (0- ») и * <* (0 +). Людмила Фирмаль
Время Дифференцируем с уравнением (10.18), получим: ice — A6e ~ ts в (uot + v) -j-A ^ ~ h cos (nJ-fv). (10.18 ‘) уравнение (10.18’) для / == 0+: i ‘<x (04) = — / b sin v + cos v. Итак, есть два уравнения для определения двух неизвестных A и v: лед (° +) = 4sinv; Ice (0 +) — Lb sin v + <b0L cos v. Для цепей с характеристическими кубическими уравнениями свободный ток льда = A ^ 1 * + LU + A ^ 1. (10.20)
Найти первую и вторую производные левой и правой частей (10.20): ice = PyA ^ 4 — p2A2eVit 4-; (10.21) (10.22) (10.23) Cb = Pi A / * + plA2epj + plA ^. т = 0р1св (0J = А + Л.24 «Л3; 4 (0 +) = рхЛг + р2Л2 + р3Л3; ■ лед (0 +) = PiЛ x + P2 A 2 4″ Rz l 8. Уравнение одновременности (10.23) имеет вид , Система из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными Lx, L2 и L8, включая все другие величины [px, p2, p8, <^ (0+), C (0+)
Обратите внимание, что в сложных ветвях с большим запасом энергии и определенными взаимосвязями между параметрами начальное значение одного или нескольких свободных токов или напряжений может быть равно нулю.
В этом случае количество свободных компонентов конкретного тока или напряжения будет меньше количества корней характеристического уравнения и не будет равно количеству свободных компонентов других токов, например, угловой частоты b)
Собственная угловая частота последовательного или параллельного резонансного контура, которая может возникнуть, если одна свободная вибрация равна 0, в этом случае доступна r цепь На этой частоте, до свободных компонентов, резонансный контур серии на самом деле более короткие участки цепи соединены с зажимом, параллельная схема будет резать цепь для этого. I: $ *
Теперь рассмотрим некоторые численные примеры расчета переходных процессов классическими методами в цепях первого и второго порядка с постоянными и синусоидальными источниками. d.s с нулевыми и ненулевыми начальными условиями.
Пример 128. На рисунке 309 до того, как автоматический выключатель был замкнут, начальное состояние было нулевым. E = 210 В. /? г = 1000 Ом, /? 2 = 2000 Ом. С = 50 микрофарад. 1) Найти начальные значения полной, принудительной и свободной составляющих всех токов и напряжений на емкости. 2) Определить закон изменения во времени всех ветвей тока и емкостного напряжения.
Выберите положительное направление для тока ветвления в соответствии со схемой решения в первой части проблемы. 309. Принимает положительное направление относительно напряжения, как это обычно делается, в соответствии с током.
Перед замыканием автоматического выключателя напряжение на конденсаторе равно нулю: M0-) = Согласно второму закону переключения оно остается равным нулю сразу после переключения при t-0 +.
Построить уравнение в соответствии с законом Кирхгофа. + «c = W? 2» = / 2 + «3- t = 0, переписать в /. M <> +) == W /? 2; h (0 +) = / 2 (0+) + i3 (0+), ns (0 +) = 0, поэтому h (0 +) = 7Γ = S = 0,21 (a) и (0 +) = 0: «3 (0 +) = h (0+) -i2 (0+) = 0,21 a. Независимое начальное значение схемы равно 1. «c (0+) = 0 — все остальные начальные значения являются зависимыми.
Найти текущее значение форсировки. Схема Тогда источником постоянной е., А в случае постоянного тока емкость является разомкнутой цепью, поэтому • -i = E = ΛW lW k1 + ı2zooo = 0,07 (а) Напряжение на конденсаторе является напряжением на сопротивлении Равно напряжению /? 2: IS —UR «- ^ pr 2pr ER * R1A-R2 140 В.
Найдите свободные составляющие тока, для этого каждый ток при t = 0+ является принудительным и свободным Может быть выражена как сумма: отсюда (0J = ((° +) ™ imp (0J = 0,21-0,07 = 0,14 (o);) == <2 (0 +) — <2lr (0, ..) = 0-0,07-—0,0 7 (а); он, (0+) — h (0 +) — (0J = 0, 21-0 = 0,21 (а); «ere (0+) = UC (0 +) — и Spr (0+) = 0-140 = -140 (c).
Решение второй части проблемы стр. См. 365): «T + ^ 2-0 имеет один маршрут: Ri 4- R2 RtRzC-30 сек 1. Поскольку в характеристическом уравнении существует только один маршрут, Ae & (с тем же индексом, что и у постоянной A желаемого тока): = = ‘W + = 0,07 + 0,146- ^ a; Ri_r Kb 4 = <2, ,, P + = ~~ + = 0,07-0,07e «® ° za»; z = i3np + «S» = 0 + ^ ept = 0,2 л. К SOf a; «a =« c »₽ +« a . = + A ^ ‘= 140-140e ~ ^ c.
График тока и напряжения u как функции времени качественно показан на рисунке 310. Константа интегрирования 7 ^ является током при / = 0+ Значение свободного компонента ilce равно A = ‘1 «(0+) = 0,14 a. Константа интегрирования A = * 2 «(0+) = -0,07 a; L =» s ™ (0+) = 0,21 a; L4 = ISB (0+) = -140 дюймов.
Выше решение описывается в числовой форме Напишите решение в буквальной форме: L = MO +) — <1lR (o +) = A__ | _; L2 = i, (0 +) — i2np (0+) = 0 — A-; ‘T * \ 2 A-4 (0 +) — ianp (0+) = A — o = A; К1Д4 = is (0,.) АСпр (0+) = 0- /? 2 * I’ <1 Как правило, требуемое количество описывается следующим образом: ЕRi + R> Е — ^ — и Ri + R *
Пример 129 Рисунок 312 До того, как автоматический выключатель был замкнут, существовало устойчивое состояние: / ?! = /?} = -50 Ом C = 100 микрофарад, E = 150 дюймов Требования к рисунку 310: 1) Ток и напряжение конденсатора заполнены, принудительные и свободные компоненты и напряжение на конденсаторе отсутствуют
Найти начальное значение производной 2) Определить ток t2, t3 и напряжение u как функцию времени Решение первой части задачи i2 (0_) = 0 и «1 (0_) = i, до переключения (0_) = = — = 1 (a) n H1 + H1 + H3 150 Вт конденсатора Соответствует ли напряжение напряжению резистора? 3: (0-) == H (0-) = 1 • 50 = 50 (c).
Определить принудительное значение после переключения: -Chlr- + 100 “* «Слр (° +) = ‘zpr (° +) /? Z = 1,5 • 50 = 75 (c). Согласно второму закону Кирхгофа, образованному первой и второй ветвями t = 0+ Построить уравнение контура: H (° +) + «c (O.,.) = £, но есть (0 +) = есть (0 отсюда» 1 (0 +) = уравнение E — к (0- ) = 150-50 = 2, Ri 50 L найдено: / 3 (0+) = M ^ = 1a.
Согласно первому закону Кирхгофа «1 (0 +) =» 2 (0 +) — H3 (0+), поэтому ‘2 (0 J = h (0 +) — i3 (0+) = 2-1 = 1 (a). Общие и принудительные значения: (0 *) = 50-75 = -25 (е); (0+) = 2-1,5 = 0,5 (а);, (0 +) = 1-0 = 1 (а); 1 .5 = -0,5 ()) • сгcg (0+) = сc (0 +) — СC /, C s (^ 1) = C 1) C pr 1 C c (® +) = H (O «) H pr H c sv (° +) = H (0+) -h pr (° +) = 1-1 b; / — »^ is st dt ‘, тогда из-за st _ Che dtС
В этом примере / dt ^ Cce \ _ ^ 2Св (фу) 1 = 10 * (в! сек). \ # // m> + С100.1О ~ * Решение второй части задачи Существует один путь к характеристическому уравнению схемы после переключения. p = -A ± 2k _ 400 с ‘\ RiR.fi Каждый ток равен сумме форсирующего компонента и свободного компонента Aept, A равно / = 0 +: 1,54-0,5 0’a; t2 = e “40Wa; r3 = 1,5-0,5 54 a.
Таким образом, i = inp + ice = 35,2 sinˆ-20′) 8,54e ~ 2 | 0 / a. Свободный ток, кривая 4 — общий ток после переключения (ордината кривой 4 при ω / 0 — кривая 2 и 5 Она равна сумме координат). Пример 132. На рисунке 317 замыкает переключатель на третьей ветви.
До этого было устойчивое состояние. e (t) = E = 120 дюймов 1) w, .. ‘»c ^)„. ! Найти принудительный ток и напряжение конденсатора после переключения f1 (0J = i2 (0_) = 120 50 4-10 перед включением выключателя, чтобы решить первую часть проблемы, чтобы найти: H pr ^ 2 Pr DC * 3lr = 0 *
Отсутствует падение напряжения от постоянного тока на индуктивности, поскольку ток не течет в конденсатор, поэтому вынужденное напряжение на конденсаторе от 1Lpr до падения напряжения с резистора /? 2 от тока u = 2.10 = 20 (c)
Первый закон выпрямления Z2 (0J = 4 (0+) = 2a, где (0+) = h pr (^ 4) + 12 sv (0 +)>, где 12 sv (° +) = «2 (0 +) -» 2 pr (0t) = 2-2 = 0 «i (0+) = i2 (0+) + z3 (0+),» i (0+) = 2 + равен (0 +), который строит уравнение по закону Кирхгофа о второй замкнутой цепи, образованной первой и третьей ветвями: 4 (0 +) + 4 GM * s + равно (0-J- это (0+) = 0 и 4 (0+) = 2-H3 (0J, тогда E-21 \ Ri + Dz 120-2-50 50 -f-50 = 0,2 (а) r3ge (0+): это (0-3 = есть (<М к пр (0+) = 0,2-0 = 0,2 (а).
Определяется ULc (/ (0 ^)) Создайте уравнение свободной компоненты, чтобы 4 ev (0+) + 4 sv (0+) + ul sv (0+) = 0 вдоль контура, образованного первой и второй ветвями -i2 sv (0 +) /? 2 = -0,2 • 50 + 0 = -10 (c), но поэтому (^ sv \ =, csv (M = _ 5 (a / s). \ L = 0 + ^ 2
Найти свободное напряжение конденсатора при t = 0+ согласно второму закону переключения .ic (0_) = «s (° +);» c (0+) = ■ использовать pr (° +) + «C cn (0+); 0 = 20+» cn (0+), следовательно, «Csv (° +) ^ -20 e- Z-0 + определяет скорость изменения свободного напряжения конденсатора.
По этой причине решение для второй части задачи составляет 0,2 150,10-6 «1333 (в / с). Характеристическое уравнение имеет вид p ^ L2c (/ ?! + /? S) + p [C (?? 2 / ? S + R & + / r ^ s) + Л2] + /? х + /? 2 = 0 имеет два комплексных сопряженных корня: Pi = -42, 1 + / 15,2 с «1 и p2 = -42,1- / 15,2 с» 1.
Таким образом, свободный компонент необходимо получить в следующем формате Существует: 4e ”6z sin (coo / + v), где 6 = 42,1 и ω0 = 15,2. Данные первой части задачи G pr% a ,, <2 sv (0 +) — 0, ^ 2 sv ( 0 *) 5 и / s \ ssp = 20 e; ssb (0+) = -20 e; ss sv (0+) = 1333 v / s. / = 0 функция Le ”6 * sin (co0 / 4 ~ v) 4sinv.
Производная функции Ae от bi sin (. Кривая 2 на рисунке 318 показывает uc = f (t). Пример 133. 317 e (t ) = 127 sin (314 / 4-40 °) C. Параметры схемы такие же, как в Примере 132. До включения автоматического выключателя цепь находилась в устойчивом состоянии: «c (0_) = 0.
Требуется: 1) «Cr (° +) и 2) Определить i2 (t) и uc (t). Решение первой части проблемы — до переключения / определение принудительного тока и напряжения конденсатора после переключения Входной импеданс цепи номер 4-1 ^ 2) zex = /?, + ~ ^ ~ = 104,8e — jSS0 ‘; -F / <о ^ + ^ зт. 127е / 4О ° 104,8- / 9 ° м’ Ir pr (° +) == 1,213 sin 49 ° 50 ‘= 0,923 a.Подключено параллельно 1,2! 3? 49е50’а
Мгновенное значение вынужденного тока после переключения ilnp => 1,213 sinˆ + 49 ° 50′); 2-й и 3-й ответвления комплексного сопротивления = bO.Zv-‘18035; ^ rz-; Kg 4 «4-х напряжения в комплексе в параллельном сечении = = 1,2 1 Ze’49’50 ‘.56.3 ^ «‘ ® ‘= 68.2е’31’15’ in; j U23t-68,2 ^ 31 Q 10OCr- / 58 ° 45 ‘S ^ m-z2-io- | j628“ U ‘1Wee 1/3 w = 68’2g / — = 1,253е’54 ° 20’.
Мгновенные значения вынужденных токов i2 и i8 после переключения: i2 = 0,1085 sin (w / -58 ° 45 ‘), i8 = 1,253 sin (o / + 54 ° 2 (В); i2 pr (0+) = OD 085 sin (-58 ° 45 ‘) = -0,0928 a \ Szpr (0 +) == 1,253 sin 54 ° 20’ = 1,016 A. Принудительное напряжение на конденсаторе UCm = 1,253е / 54 ° 20 ‘.21, З- / 80 ° = 26,7y- / ^ «‘.
Мгновенное значение вынужденного напряжения, приложенного к емкости после переключения, составляет pr-26,7 sin (co / -35 ° 40′);» pr (° +) = 26> 7 sin (-35 ° 40 ‘) = -15,57 дюйма. Найти f2re (0+). Закон переключения: «2 (0 ) = <2 (0+) = -0,1415 =» 2 „p (0+) ) 4-12sv (0+); ”■ 2pr (0+) = -0,0928 a;» 2 «(0+) = -0,1415 4-0,0928 = -0,0487 a.
Согласно второму закону переключения конденсатор» Найти свободное напряжение ssv (0+). «S (0 ) =» s pr (0+) 4- и С (в (0+); «сev (0 <) = (0 _) — isp (0 +) = 0 — (- 15,57) = 15,57 (в) / 1-й и 3-й бюстгальтер для определения 3gv (0+) Настройка уравнения вдоль контура, образованного с помощью переключателя.
Заменить в нем / найти 1sv (0+) ~ 1-0.0487 4- £ 3 „(0+) 1 и sSv (® +) =, 5” 57 6-: ”’8” (0+) = ~ 10 + 1 ° ‘~ = ~ 0,1314 (а); G зв (0-J = <2 зв (0+) + rs зв (0+) ~ -0,18 А. «дн (0 +) = £ ( Для определения- ^ построим уравнение первого сформированного контура второй ветви: <1 Зв (° +) + * 2 Зв (0-i) + UL св ОМ-0 »Зв ( 0 *) * s-0,1314 150-10 «6 = -876 (в; с).
Решение второй части задачи Согласно данным, полученным при решении первой части, / 2lr = 0,1085 sin (w / -58g45 ‘), / 2sv (0+) = -0,0487 a; (0+) = 4,74 a / 7 sin (co / -35c40’), ccb (0+) = 15,57 в , Cb (0J-in / sec.
Создать два уравнения для определения корней i2ce A и v характеристического уравнения: equationsin v = -0.0487; -бЛsin v + co0 / cos v == 4.74, wh = L = 0, 184 a и v = -15с20 \ So G-12 „₽ +« 2 »= О, 1085 sin А-58 ° 45 ‘) + 4- 0,184e ~ 4i!’ L’s в (1512 / -15 ° 2 (D) а.
Построить два уравнения для определения констант A и v в iCw: A sin v = 15,57; -M sin v + v0A, потому что v = -876 Совместное решение: A = 21,3 и v = 136 ° 5 (G, «c = ^ SpR +» c = 26 «7 sin, А-35 ° 40 ‘) + _ [_ 21,3e ~ 42’, f sin ( 15.2Z + 136 ° 50 ‘) в. ♦
* * Здесь мы возвращаемся к основам операторного метода, который является вторым методом для расчета переходных процессов линейных электрических цепей. Я помню несколько
Смотрите также:
