Определители матрицы: алгоритм, примеры вычисления

Определителем (детерминантом) второго порядка называется число
, определяемое равенством .

Числа () называются элементами определителя. Первый индекс указывает номер строки, второй — номер столбца. Строки и столбцы называют рядами определителя. Порядок определителя равен количеству его строк или столбцов.

Для вычисления определителя -го порядка сформулируем теорему:

Определитель -го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения т. е.

где — алгебраическое дополнение элемента . В частности,

Алгебраическим дополнением элемента называется минор , взятый со знаком «+», если сумма индексов — четное число и со знаком «-», если сумма индексов и — нечетное число, т.е .

Минором элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания -ой строки и -го столбца.

Пример 1.

Вычислить определитель .

Решение:

Разложим определитель по элементам первой строки, используя теорему

Ответ: 18

Если определитель третьего порядка разложить по первой строке, то получим формулу:

Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы — побочную диагональ определителя. Чтобы запомнить эту формулу, прибегают к графическому ее изображению.

Такой метод вычисления определителя третьего порядка получил название правило «треугольников». При вычислении определителя со знаком «+» берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1а); со знаком «-» берутся произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 16).

Пример 2.

Вычислить определитель

Решение:

По правилу «треугольников» .

Другой способ вычисления определителя третьего порядка — по правилу Саррюса. Для этого к определителю третьего порядка приписываются справа два первых столбца. Складывают произведения элементов со знаком «+» на диагоналях, параллельных главной, и со знаком «-» на диагоналях, параллельных побочной, т.е.

Пример 3.

Вычислить определитель

Решение:

По правилу Саррюса

Основные свойства определителей

1. Величина определителя не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
2. Величина определителя меняет знак на противоположный при перестановке двух соседних параллельных рядов.
3. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.
4. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.
5. Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответственно элементы другого параллельного ряда, умноженные на произвольное число.

Пример 4.

Вычислить определитель:

Решение:

Определитель четвертого порядка вычисляется разложением по элементам какого-либо ряда. Обычно выбирают ряд, у которого часть элементов равна нулю. Если нулевых элементов нет, то, используя 5-е свойство определителя, получают три нуля в каком-либо ряде.

Из второй строки вычли первую, предварительно умноженную на два; из четвертой строки вычли первую; разложили определитель по элементам первого столбца.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Векторный анализ: основные понятия и пример с решением

Ряды в высшей математике

Матрицы. Операции над матрицами

Системы линейных уравнений