Для связи в whatsapp +905441085890

Основные элементарные функции комплексного переменного

Основные элементарные функции комплексного переменного

Определим основные элементарные функции комплексного переменного Основные элементарные функции комплексного переменного.

Показательная функция

Показательная функция Основные элементарные функции комплексного переменного определяется формулой

Основные элементарные функции комплексного переменного

Положив в этом равенстве Основные элементарные функции комплексного переменного, устанавливаем, что для действительных значений Основные элементарные функции комплексного переменного показательная функция Основные элементарные функции комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного: Основные элементарные функции комплексного переменного.

Показательная функция Основные элементарные функции комплексного переменного обладает «известным» свойством: Основные элементарные функции комплексного переменного. Действительно, по правилу умножения комплексных чисел («модули перемножаются, а аргументы складываются», п. 28.3), имеем:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: Основные элементарные функции комплексного переменного, Основные элементарные функции комплексного переменного.

Учитывая, что Основные элементарные функции комплексного переменного, а Основные элементарные функции комплексного переменного, утверждаем, что показательная функция Основные элементарные функции комплексного переменного нигде в нуль не обращается, т. е. Основные элементарные функции комплексного переменного.

Исходя из определения (74.1), легко убедиться, что

Основные элементарные функции комплексного переменного

выражение Основные элементарные функции комплексного переменного при Основные элементарные функции комплексного переменного не имеет смысла.

Положив в равенстве (74.1) Основные элементарные функции комплексного переменного, получим классическую формулу Эйлера Основные элементарные функции комплексного переменного. С ее помощью, в частности, можно представить тригонометрическую форму комплексного числа Основные элементарные функции комплексного переменного в более компактной форме Основные элементарные функции комплексного переменного, называемой показательной формой комплексного числа (см. п. 27.3)

Показательная функция комплексного переменного обладает и специфическим свойством: она является периодической с мнимым основным периодом Основные элементарные функции комплексного переменного.

Действительно,

Основные элементарные функции комплексного переменного

т.е. Основные элементарные функции комплексного переменного. Отметим, что Основные элементарные функции комплексного переменного не всегда больше нуля. Например, Основные элементарные функции комплексного переменного.

Логарифмическая функция

Эта функция определяется как функция, обратная показательной: число Основные элементарные функции комплексного переменного называется логарифмом числа Основные элементарные функции комплексного переменного, если Основные элементарные функции комплексного переменного, обозначается Основные элементарные функции комплексного переменного. Так как значения показательной функции Основные элементарные функции комплексного переменного всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция Основные элементарные функции комплексного переменного определена на всей плоскости Основные элементарные функции комплексного переменного, кроме точки Основные элементарные функции комплексного переменного (стало быть, имеет) смысл и выражение Основные элементарные функции комплексного переменного).

Положив Основные элементарные функции комплексного переменного, получим, согласно определению логарифмической функции, Основные элементарные функции комплексного переменного, или Основные элементарные функции комплексного переменного. Отсюда имеем:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Следовательно,

Основные элементарные функции комплексного переменного

т.е. Основные элементарные функции комплексного переменного или, Основные элементарные функции комплексного переменного, где Основные элементарные функции комплексного переменного.

Формула (74.2) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е. Основные элементарные функции комплексного переменного — многозначная функция.

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (74.2) определенное значение Основные элементарные функции комплексного переменного. Положив Основные элементарные функции комплексного переменного, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма Основные элементарные функции комплексного переменного и обозначают символом Основные элементарные функции комплексного переменного:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Если Основные элементарные функции комплексного переменного — действительное положительное число, то Основные элементарные функции комплексного переменного и Основные элементарные функции комплексного переменного Основные элементарные функции комплексного переменного, т. е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.

Формулу (74.2) можно переписать так: Основные элементарные функции комплексного переменного.

Из формулы (74.2) следует, что логарифмическая функция Основные элементарные функции комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Докажем, например, первое свойство:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Пример №74.2.

Вычислить Основные элементарные функции комплексного переменного и Основные элементарные функции комплексного переменного.

Решение:

Для числа Основные элементарные функции комплексного переменного имеем Основные элементарные функции комплексного переменного. Следовательно, Основные элементарные функции комплексного переменного (формулы (74.2) и (74.3)); Основные элементарные функции комплексного переменного

Степенная функция Основные элементарные функции комплексного переменного

Если Основные элементарные функции комплексного переменного — натуральное число, то степенная функция определяется равенством Основные элементарные функции комплексного переменногоОсновные элементарные функции комплексного переменного. Функция Основные элементарные функции комплексного переменного — однозначная. Если Основные элементарные функции комплексного переменного, то в этом случае

Основные элементарные функции комплексного переменного

где Основные элементарные функции комплексного переменного.

Здесь функция Основные элементарные функции комплексного переменного есть многозначная (Основные элементарные функции комплексного переменного-значная) функция. Однозначную ветвь этой функции можно получить, придав Основные элементарные функции комплексного переменного определенное значение, например Основные элементарные функции комплексного переменного.

Если Основные элементарные функции комплексного переменного где Основные элементарные функции комплексного переменного, то степенная функция определяется равенством

Основные элементарные функции комплексного переменного

Функция Основные элементарные функции комплексного переменного — многозначная.

Степенная функция Основные элементарные функции комплексного переменного с произвольным комплексным показателем Основные элементарные функции комплексного переменного определяется равенством

Основные элементарные функции комплексного переменного

Функция Основные элементарные функции комплексного переменного определена для всех Основные элементарные функции комплексного переменного, является многозначной функцией. Так, Основные элементарные функции комплексного переменного, где Основные элементарные функции комплексного переменного При Основные элементарные функции комплексного переменного имеем: Основные элементарные функции комплексного переменного.

Тригонометрические функции

Тригонометрические функция комплексного аргумента Основные элементарные функции комплексного переменного определяются равенствами

Основные элементарные функции комплексного переменного

При действительных Основные элементарные функции комплексного переменного эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного. Так, при Основные элементарные функции комплексного переменного (Основные элементарные функции комплексного переменного)

Основные элементарные функции комплексного переменного

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. В частности,

Основные элементарные функции комплексного переменного

и т.д. Докажем, например, первое свойство:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Отметим, что тригонометрические функции Основные элементарные функции комплексного переменного и Основные элементарные функции комплексного переменного в комплексной плоскости Основные элементарные функции комплексного переменного неограничены:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Так, например, Основные элементарные функции комплексного переменного.

Гиперболические функции

Эти функции определяются равенствами

Основные элементарные функции комплексного переменного

Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Заменяя в указанных функциях Основные элементарные функции комплексного переменного на Основные элементарные функции комплексного переменного, получим:

Основные элементарные функции комплексного переменного

(а также Основные элементарные функции комплексного переменного).

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле Основные элементарные функции комплексного переменного тригонометрические функции гиперболическими, получим

Основные элементарные функции комплексного переменного

или — Основные элементарные функции комплексного переменного. Так как здесь Основные элементарные функции комплексного переменного — любое комплексное число, то Основные элементарные функции комплексного переменного можно заменить на Основные элементарные функции комплексного переменного; получим формулу Основные элементарные функции комплексного переменного. Приведем еще ряд формул:

Основные элементарные функции комплексного переменного

и т.д.

Из определения гиперболических функций следует, что функции Основные элементарные функции комплексного переменного и Основные элементарные функции комплексного переменного периодические с периодом Основные элементарные функции комплексного переменного; функции Основные элементарные функции комплексного переменного и Основные элементарные функции комплексного переменного имеют период Основные элементарные функции комплексного переменного.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Число Основные элементарные функции комплексного переменного называется арксинусом числа Основные элементарные функции комплексного переменного, если Основные элементарные функции комплексного переменного, и обозначается Основные элементарные функции комплексного переменного.

Используя определение синуса, имеем Основные элементарные функции комплексного переменного или Основные элементарные функции комплексного переменного. Отсюда Основные элементарные функции комплексного переменного, т. е. Основные элементарные функции комплексного переменного (перед корнем можно не писать знак Основные элементарные функции комплексного переменного, так как Основные элементарные функции комплексного переменного имеет два значения). Тогда Основные элементарные функции комплексного переменного, или Основные элементарные функции комплексного переменного. Таким образом,

Основные элементарные функции комплексного переменного

Функция Основные элементарные функции комплексного переменного многозначна (бесконечнозначна). Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции. Можно показать, что

Основные элементарные функции комплексного переменного

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются-соответственно Основные элементарные функции комплексного переменного (ареасинус), Основные элементарные функции комплексного переменного (ареакосинус), Основные элементарные функции комплексного переменного (apea-тангенс), Основные элементарные функции комплексного переменного (ареакотангенс).

Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения:

Основные элементарные функции комплексного переменного

Все эти функции бесконечнозначны.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Векторные дифференциальные операции второго порядка
Предел и непрерывность функции комплексного переменного
Ряды в комплексной плоскости
Понятие вычета и основная теорема о вычетах