Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано

Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано

• Остаточные члены в виде Лагранжа, Коши и Пеано. Выше мы установили формулу Тейлора с общей формой остаточного члена. Здесь мы устанавливаем другие возможные представления остаточного периода. Эти два могут быть получены как частный случай из общей формы. Сначала преобразуем выражение для остаточного члена (6.34). Так как точка 5 находится между точками a и x, то существует такое число 0из интервала O<0<1.|- а==0(х-а). Итак, 5=a+0 (x-a), x—^=(x-a) (1-0). Поэтому выражение(6.34) можно

переписать следующим образом₽»+1 () = -(X-1[a+0(x-a)]. (6.45)) P1p Рассмотрим теперь два важных частных случая выражения(6.45): 1)p=p+1;2) p=1.(Напомним, что в формулах (6.34) и (6.45) любое положительное число может быть p.) первый из этих частных случаев (p=I+1) вызывает нас.()=^<П+1)п+е( — «)] • (6 -4 6 > (Л+1)1,

Эта форма оставшихся слов наиболее распространена в применении. Остаточный член в Лагранжевой форме аналогичен регулярному члену, следующему формуле Тейлора, но только (и+1) третья Людмила Фирмаль

производная функции/(/) является разницей между точкой a и x^=a+0 (x-a), а не точкой a. Второй из этих частных случаев (Р=1) приводит нас к ОС т а т о ч н о м у ч Лен у в Ф ОРМ Е К Ош и : %П+1()=(х-у)»+u1_-0) » ^(р+1)+e_a)](6.47) / 11 Поскольку форма Лагранжа и коши соответствует разным значениям p, а 0 зависит от p, то значения формул(6.46) и (6.47) в общем случае различны. Для оценки некоторых функций форма Коши предпочтительнее Лагранжевой формы. Обе

формы оставшихся слов (Лагранж и Таким образом, 0-это p.It следует подчеркнуть, что это зависит от §8. Формула маклорина 249 Коши) обычно используется, когда для аппроксимации функции/(x) необходимо определенное фиксированное значение x, отличное от a. Естественно приблизительно заменить DX полиномом f (x, a) и оценить погрешность в этом случае численно. Наряду с этим существует проблема, когда указанный номер ошибки не

• представляет интереса и только порядок относительно малых значений (x—a). Для этой цели удобна другая форма записи остаточного члена(так называемый f ORM a) P, и для установления мы идем через Ean o. *Джузеппе.Пи был итальянским математиком (1858-1932). ** Таким образом, она подчиняет функцию DX)требованию, которое слабее теоремы 6.10. ** Напомним, что символ * o [(x-a) n]обозначает бесконечно малую функцию с меньшим, меньшим порядком в x->a (x-a) n (см. Главу 5, Главу 4, Главу 3). Предположим, что функция CX) имеет производную Порядка n-1 в окрестности точки a,а производная Порядка n в самой точке a*. *При этих предположениях мы можем думать о многочленеL—#x — X-L250 Глава 6. Основная теорема о дифференцируемых функциях И это

также означает, что^(x)=o (x—a), т. е. N=1 выражение (6.48) продолжается из (6.49). Здесь для завершения индукции предположим, что выражение некоторого числа n>6.49 (6.48) следует из (6.49), в таком случае выражение (6.48) следует из (6.49), а в следующем числе n+1 знак равенства (6.49) принимает вид KP+2 (a)=0, K K n’+2 (a)=0, K^2 (a) и A ^ 2 (a)=0…….. а)=0. Для числа (6.49′)n знак равенства формы (6.49)означает представление формы (6.48), а затем первый знак равенства считается отброшенным, поэтому) (, 6.49 означает оставшийся знак равенства). *Для любого n>1LP+g (x) выполняются все условия применимости теоремы Лагранжа 6.4. К+2 (А)=О(а)=0………(a)=0 включает в себя производительность К+2 *)< = 0 • (6.50)

С другой стороны, мы применили к функции NP+6 (x) на отрезке[a, x]теорему Людмила Фирмаль

Лагранжа 6.4и дали первое уравнение () 6.Вы можете видеть, что есть точка между 49a и x 5 KP+2 (x)=K+2 (x)—K+2 («) =K+2 (x) (5) (x—a)•(6.51) сравните соотношения (6.50) и(6.51), и O [(B—p)]=o [(x—a) p] (потому что 5 заключено между a и x), и, наконец, K+g(x)=o [(x—a). Таким образом, индукция имеет место, и вывод представления остаточного члена в виде Пеано (6.48) завершен. В заключение полностью запишем формулу Тейлора с остаточными членами в виде (x)=/(a)+ — C^-(x-a)+… +■ ■ ?<->(—(х-а) п+о [(Х-а)п]. 1! п\ (6.52)

Смотрите также:

Математический анализ онлайн

Раскрытие неопределенности вида ∞/∞.	Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в интегральной форме
Раскрытие неопределенностей других видов	Формула Маклорена