Оглавление:
Парабола
Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса 
до директрисы называется параметром параболы и обозначается через 
(
).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат 
так, чтобы ось 
проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к , а начало координат 
расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус имеет координаты 
, а уравнение директрисы имеет вид 
или 
.
Пусть 
— произвольная точка параболы. Соединим точку 
с . Проведем отрезок 
перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы 
. По формуле расстояния между двумя точками находим:
, а 
.
Следовательно,
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
т.е.
Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.
Исследование форм параболы по ее уравнению
- В уравнении (11.13) переменная
входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси ; ось является осью симметрии параболы. - Так как , то из (11.13) следует, что
. Следовательно, парабола расположена справа от оси 
. - При
имеем 
. Следовательно, парабола проходит через начало координат. - При неограниченном возрастании
модуль также неограниченно возрастает. Парабола 
имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка 
называется вершиной параболы, отрезок 
называется фокальным радиусом точки .
Уравнения 
также определяют параболы, они изображены на рисунке 62.
Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена 
, где 
и 
любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Эллипс |
| Гипербола |
| Общее уравнение линий второго порядка |
| Плоскость. Основные задачи |
