Пересечение линии с поверхностью
В общем случае для графического определения положения точек пересечения линии с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений в следующей последовательности: заключить линию во вспомогательную поверхность; определить линию пересечения этой поверхности с заданной поверхностью; отметить точки пересечения построенной линии с заданной.
Этот алгоритм является универсальным, пригодным для решения любых задач. Ранее (лекция 4, рис. 4.5 и 4.6) он применялся для построения проекций точки пересечения прямой с плоскостью, где в качестве вспомогательной секущей поверхности использовалась плоскость и строилась прямая линии пересечения ее с заданной плоскостью, а искомая проекция точки пересечения определялась как место пересечения этой линии с заданной прямой.
На рис. 12.1-12.3 проиллюстрирован тот же алгоритм применительно к построению точки пересечения кривой линии 
с плоскостью 
. В качестве секущей поверхности в данном случае следует использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, в частности, горизонтально-проецирующую 
, в которую должна быть заключена кривая 
. Для этого на чертеже (рис. 13.3) обозначаем горизонтальный след этой поверхности 
— Горизонтальная проекция линии ее пересечения с заданной плоскостью совпадает с ним, располагаясь между точками 
.
Для построения ее фронтальной проекции воспользуемся произвольными вспомогательными прямыми линиями, принадлежащими плоскости. Вначале задаем их горизонтальные проекции, например, через вершину 
. Затем по
точкам их пересечения со стороной 
находим фронтальные проекции вспомогательных прямых и определяем на них фронтальные проекции точек пересечения с ними заданной кривой. Проводим через найденные точки плавную кривую линию, являющуюся, таким образом, фронтальной проекцией линии пересечения, и отмечаем на ней место пересечения с фронтальной проекцией заданной кривой — точку 
. Это и будет фронтальная проекция искомой точки пересечения заданной кривой с плоскостью . Затем, воспользовавшись линией связи, находим горизонтальную проекцию 
точки пересечения.
Этот алгоритм применен и для построения точек пересечения прямой линии с поверхностями геометрических тел — призмы, пирамиды и самопересекающегося тора (рис. 12.8, а, б, в). Поскольку поверхности этих тел являются замкнутыми, то необходимо найти по две точки пересечения на каждой из них.
При пересечении с призмой (рис. 12.8, а) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой 
использовалась фронтально-проецирующая плоскость 
При пересечении с пирамидой (рис. 12.8, б) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой 
использовалась горизонтально-проецирующая плоскость Он- При пересечении с самопересекающимся тором (рис. 12.8, в) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой 
использовалась фронтальная плоскость . Далее все действия аналогичны рассмотренным. В каждом случае вначале строилась линия пересечения поверхности плоскостью, исходя из ее проецирующего положения, определялись на ней точки пересечения с заданной прямой, а при окончательном оформлении — видимость на чертеже.
В качестве секущей плоскости при определении точек пересечения прямой с поверхностью могут использоваться также плоскости общего положения, пересекающие поверхность вдоль ее образующих (рис. 12.8, г, д). Так, для построения точек пересечения прямой 
общего положения с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.8, г) показано использование плоскости общего положения а, проходящей через вершину конуса и заданную прямую. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. Одна из них — это заданная прямая , вторая — пересекающаяся с ней произвольная прямая 
, проходящая через вершину конуса. Для построения проекций образующих, вдоль которых плоскость пересекает поверхность конуса, найден ее горизонтальный след, затем проекции 
и 
точек его пересечения с горизонтальным следом основания конуса и фронтальные проекции 
и 
этих точек. Искомые проекции точек 
и 
пересечения заданной прямой общего положения с поверхностью конуса находятся в местах пересечения с ней построенных образующих.
Аналогичные действия выполнены и для построения проекций 
и 
точек пересечения прямой общего положения 
с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис. 12.8, г)). Для этого использовалось задание плоскости общего положения 
также двумя пересекающимися прямыми, одна из которых, как и в предыдущем случае, — это заданная прямая а пересекающаяся с ней в произвольной точке 
вторая прямая линия — это прямая 
, параллельная образующим цилиндра.
Строился горизонтальный след этой плоскости и по точкам пересечения его с горизонтальным следом заданного цилиндра находились образующие, по которым вспомогательная плоскость общего положения пересекает цилиндр. В местах пересечения с проекциями этих образующих проекций прямой общего положения находятся искомые проекции и точек пересечения заданной прямой с поверхностью цилиндра.
Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:
Начертательная геометрия для 1 курса
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Цилиндрические и конические винтовые линии |
| Кривые поверхности |
| Касательные плоскости и нормаль к поверхности |
| Метод проекций. Образование чертежа по Монжу. Проекции точки |
