Для связи в whatsapp +905441085890

Первообразная и интеграл

Ранее вы ознакомились с операцией дифференцирования: нахождения производной по данной функции. Не менее важна и обратная ей операция — интегрирование: нахождение функции по её производной.

Пусть дано функцию Первообразная и интеграл такую, что в каждой точке х некоторого промежутка Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл. В этом случае функцию f(x) называют производной функции F(x), a Первообразная и интеграл — первообразной для f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл, если для каждого значения х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Например, на всей числовой оси (т. е. на R] функция F(x) = Первообразная и интегралявляется первообразной для f(x) = 2х, ибо Первообразная и интеграл = 2х; F(x) = sin х есть первообразной для f(x) = cos х, ибо (sin х)’ = cos х.

Функция F(x) Первообразная и интеграл является первообразной для Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл например на [1; 5]. Но не на R, поскольку F'(O) не существует, и не на Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл, поскольку это не промежуток.

Одна ли функция Первообразная и интегралПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл является первообразной для Первообразная и интеграл Нет. Ведь и Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл иПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл и т. д. Каким бы ни было число С (произвольная постоянная), функция Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл — первообразная дляПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл, ибо (Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл) Первообразная и интегралПервообразная и интеграл

Существуют ли другие функции, отличные от Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл , первообразные для Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл? Нет.

Теорема. (Основное свойство первообразных.) Каждая первообразная для функции Первообразная и интеграл) имеет вид F(x) + С, где Первообразная и интеграл — одна из этих первообразных, а С — произвольная постоянная.

Доказательство 1. ПустьПервообразная и интеграл—одна из первообразных для функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл, т. е. для каждого Первообразная и интеграл Первообразная и интегралПервообразная и интеграл:Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

По правилу нахождения производной суммы

Первообразная и интеграл

Этим доказано» что какая бы ни была постоянная С, если Первообразная и интеграл — первообразная для Первообразная и интеграл, то и Первообразная и интегралПервообразная и интеграл — первообразная для Первообразная и интеграл

Пусть Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл — две любые первообразные для функции

Первообразная и интеграл

Первообразная и интеграл на промежуткеПервообразная и интеграл, т. е. Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл и Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл для каждого Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл. Тогда Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Как видим, функция Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл такая, что в каждой точке Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралеё производная равна 0.

Такое свойство имеет только определённая наПервообразная и интеграл функция, которая ни возрастает, ни убывает на этом промежутке. Ведь если бы на некоторой части промежутка Первообразная и интеграл эта функция возрастала или убывала, то там её производная была бы соответственно положительная или отрицательная. (Подробнее обоснование этого факта даётся в строгих курсах математического анализа.) Итак, Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл , где С — постоянная, т. е. Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Этим доказано, что если Первообразная и интеграл— одна из первообразных для функции Первообразная и интеграл, то каждая из функций Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл также её первообразная и других первообразных для Первообразная и интеграл) не существует. Геометрически это означает, что графики любых двух первообразных для функции Первообразная и интегралтакие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 102).

Первообразная и интегралПервообразная и интегралобщий вид первообразных для функции Первообразная и интеграл.

Каждая первообразная рассматривается на некотором промежутке. Если же для краткости его не указывают, то имеют в виду промежуток максимально возможной длины. В частности, если функция Первообразная и интеграл) определена на Первообразная и интеграл и промежуток не указано, то речь идет о её первообразной Первообразная и интеграл также на Первообразная и интеграл.

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Используя формулы дифференцирования (с. 218), составим таблицу первообразных. Советуем запомнить её.

Первообразная и интеграл
Первообразная и интеграл

Обосновать эту таблицу можно дифференцированием функции из её второй строки. Пользуясь таблицей, можно сразу писать, что, например, для функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл Первообразная и интегралпервообразной есть Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл и т.д.

Множество всех первообразных функции Первообразная и интеграл часто называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают символом Первообразная и интеграл (читают: интеграл эф от икс де икс).

Выражение «проинтегрировать функциюПервообразная и интеграл» обозначает то же, что и «найти первообразную для функции Первообразная и интеграл » .

То есть, если Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл, а Первообразная и интеграл —произвольное число, то Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Слово интеграл в переводе с латинского языка означает целый. Почему его так назвали, вы поймёте, когда ознакомитесь с определённым интегралом (см. с. 241).Неопределённым его называют потому, что он при заданной функции и данном значении Первообразная и интеграл имеет не одно числовое значение, а бесконечно много.

Таблицу первообразных, с помощью символа неопредёлен-ного интеграла можно записать так:

Первообразная и интеграл

Примеры с решением

Пример №1

Докажите, что функция Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл является первообразной для функции Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Доказательство.Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Имеем Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл. Итак, по определению, функция Первообразная и интеграл— первообразная для функции Первообразная и интеграл

Пример №2

Найдите первообразную для функции : а) Первообразная и интеграл; б) Первообразная и интеграл;

Решение:

Воспользуемся таблицей первообразных.

а) Первообразной для функции Первообразная и интегралесть функция Первообразная и интеграл.

Для функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл , поэтому Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.


б) Первообразной для функции Первообразная и интеграл есть функция Первообразная и интегралПервообразная и интеграл

Для функции Первообразная и интегралПервообразная и интегралпоэтому Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Пример №3

Найдите для функции Первообразная и интеграл такую первообразную, чтобы её график проходил через точку Р (2; 5).

Решение:

Пользуясь таблицей, найдём общий вид первообразных: Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПоскольку график искомой первообразной проходит через точку Р (2; 5), то Первообразная и интегралПервообразная и интеграл, отсюда С = 3.

Следовательно, Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл.

Ответ.Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Пример №4

Проинтегрируйте функцию Первообразная и интеграл.

Решение:

Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Нахождение первообразных

Выведем несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных.

I. ЕслиПервообразная и интеграл и Первообразная и интеграл— первообразные для функций Первообразная и интеграл) иПервообразная и интеграл, тоПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл Первообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Действительно, если Первообразная и интеграл Первообразная и интегралПервообразная и интеграл и Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл. то

Первообразная и интеграл

Первообразная и интеграл. Если Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл, a Первообразная и интеграл — произвольное число, то Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл.

Ведь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Первообразная и интеграл Если Первообразная и интеграл—первообразная для функции Первообразная и интеграл, a Первообразная и интеграл,b — произвольные числа Первообразная и интеграл, то Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл.

»

Ведь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Пример №5

Найдите первообразную для функции:

а) Первообразная и интеграл; б) Первообразная и интеграл; в) Первообразная и интеграл.

Решение:

а) Для функций Первообразная и интегралПервообразная и интегралиПервообразная и интеграл первообразными являются соответственно Первообразная и интегралПервообразная и интеграл и Первообразная и интеграл.

Поэтому для суммы данных функций общий вид первообразных

Первообразная и интеграл


б) По правилу II: Первообразная и интегралПервообразная и интеграл.

в) Одной из первообразных для функции Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл,согласно правилу III, является функция Первообразная и интегралПервообразная и интеграл . Общий вид первообразных для данной функции

Первообразная и интеграл

К нахождению первообразных сводятся прежде всего задачи, обратные тем, которые решаются с помощью производной. Рассмотрим пример..

Если известен закон прямолинейного движения тела Первообразная и интеграл ,то для нахождения его скорости в момент t нужно найти производную: Первообразная и интеграл. Здесь дан закон движения и требуется найти его скорость. Для механики не менее важно уметь решать обратную задачу: по заданной в каждый момент скорости определять закон движения.

Задача №1.

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью Первообразная и интеграл. За перые 4 с она прошла 80 м. Найдите закон движения точки.

Решение:

Искомый закон движения выражается такой функциейПервообразная и интеграл, что Первообразная и интеграл. Здесь s(t) — первообразная для функции Первообразная и интеграл. Общий вид всех таких первообразных Первообразная и интеграл. Поскольку за 4 с точка прошла 80м, то 80 = 5-16 + С, отсюда С = 0.

Ответ. Искомый закон движения точки Первообразная и интеграл, где t — время в секундах, Первообразная и интеграл — расстояние в метрах.

Примеры других применений первообразной рассмотрим в следующих параграфах.

С помощью неопределённого интеграла правила интегрирования записываются так:

Первообразная и интеграл

Пример №6

Найдите одну из первообразных для функции:

а)Первообразная и интеграл; б)Первообразная и интеграл.

Решение:

а) Для функции Первообразная и интеграл одной из первообразных есть функция Первообразная и интеграл. Учитывая то, что первообразной для функции Первообразная и интеграл есть функция Первообразная и интеграл, запишем искомую первообразную: Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл ;

б) преобразуем сначала формулу, задающую функцию:

Первообразная и интеграл

Тогда Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл .

Пример №7

Тело движется прямолинейно с ускорением Первообразная и интеграл.

Определите скорость данного движения как функцию от времени f, если в момент t = 0 она равнялась 3 м/с.

Решение:

Ускорение — производная скорости. Поэтому если Первообразная и интеграл — искомая скорость, то Первообразная и интеграл. Следовательно,Первообразная и интеграл) — первообразная для функции Первообразная и интеграл, поэтому Первообразная и интеграл. Поскольку Первообразная и интеграл, то Первообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Ответ. Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл.

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Пусть на координатной плоскости задан график непрерывной функции Первообразная и интеграл, принимающей на промежутке [а; Ь) только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную таким графиком, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь, называют криволинейной трапецией.

Первообразная и интеграл

Криволинейную трапецию называют также под графиком функции Первообразная и интеграл на [а; Ь].

Несколько криволинейных трапеций изображено на (рис. 105).

Каждая криволинейная трапеция имеет определённую площадь (это доказано в строгих курсах математического анализа). Эти площади можно находить с помощью первообразных.

Теорема. Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл) на промежутке [а; Ь], равна Первообразная и интеграл, где Первообразная и интеграл— первообразная для функции Первообразная и интеграл на [а; b].

Доказательство. Рассмотрим произвольную криволинейную трапецию, образованную графиком функции Первообразная и интегрална Первообразная и интеграл(риc. 106). Пусть х — произвольная точка отрезка Первообразная и интеграл, а S(x) — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на Первообразная и интеграл. Понятно, что Первообразная и интеграл — функция от х. Докажем, что Первообразная и интегралПервообразная и интеграл для каждого Первообразная и интеграл.

Дадим переменной х приращение Первообразная и интеграл, тогда функция Первообразная и интеграл получит приращение Первообразная и интегралПервообразная и интеграл(pиc. 107). Это — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл, она приближённо равна площади прямоугольника с основанием Первообразная и интеграл, и высотой f(t), где t — некоторое число из промежутка Первообразная и интеграл. Поскольку функция f(x) непрерывна, такое число t обязательно найдётся.

Следовательно, Первообразная и интеграл откуда Первообразная и интеграл.

Первообразная и интеграл

Если Первообразная и интеграл, то Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл, ибо функция Первообразная и интеграл непрерывна. Поэтому если Первообразная и интеграл, то Первообразная и интеграл, т. е. Первообразная и интеграл.

Как видим, функция S(x) — первообразная для Первообразная и интеграл на [а; Ь]. Поэтому если F(x) — какая-либо другая первообразная для Первообразная и интеграл) на [a; b], то S(x) = F(x) + С, где С — постоянная. Чтобы определить С, учтём, что S(a) Первообразная и интеграл 0, ибо при х а криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a; х], вырождается в отрезок; его площадь равна 0. Имеем: 0 = F(a) + С, отсюда С = -F(a). Следовательно,Первообразная и интеграл= F(х) — F(a). Если в это равенство подставим значение х = Ь, то получим площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]:

Первообразная и интеграл
Первообразная и интеграл

Значение выражения F(b) — F(a) вычисляют часто, поэтому для удобства его записывают ещё и так:.Первообразная и интеграл.Итак, формула (1) приобретает вид:

Первообразная и интеграл

Задача №2.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на промежутке [1; 3].

Решение:

На (рис) 108 изображена фигура, площадь которой нужно найти. Для функцииПервообразная и интеграл первообразной есть Первообразная и интегралПервообразная и интеграл. Следовательно, искомая площадь Первообразная и интегралПервообразная и интеграл

Первообразная и интеграл

Задача №3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды и осью абсцисс (риc. 109).

Решение:

Надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл. Для функции Первообразная и интеграл первообразной есть функция Первообразная и интеграл. Следовательно, искомая площадьПервообразная и интеграл= 1 — (-1) — 2 (кв. ед.).

Пользуясь термином «криволинейная трапеция следует иметь в виду, что «криволинейная трапеция» не всегда является трапецией (риc. 109) и не всегда она криволинейная(риc. 105, б). А вообще она — не геометрическая фигура в научном понимании. Любое движение отображает каждую фигуру на равную ей фигуру такого же вида. А если «криволинейную трапецию *, например, изображенную на (рис 108), повернуть на 90°, она отображается на фигуру, которая не является криволинейной трапецией. Поэтому вместо «криволинейная трапеция» говорят и пишут «подграфик функции».

Задача №4.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у = х на [0; 2].

Первообразная и интеграл

Решение:

Данная криволинейная трапеция — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 (риc. 110). Его площадь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл(кв. ед.).

Ответ. 2кв. ед.

Задача №5.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у -3 на [1,2].

Заданная криволинейная трапеция — прямоугольник с измерениями 1 и 3 (риc. 111). Его площадь Первообразная и интегралПервообразная и интеграл(кв. ед.).

Ответ. 3 кв. ед.

Первообразная и интеграл

Задача №6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл и осью абсцисс.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью Ох. В этих точках ордината функции равна нулю:Первообразная и интегралПервообразная и интеграл, отсюда Первообразная и интеграл, Первообразная и интеграл(риc. 112). Значит, надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной

Первообразная и интеграл

графиком функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл на [-2; 2].Одна из первообразных для данной функцииПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл.Поэтому искомая площадь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралкв,ед.

Ответ. Первообразная и интеграл кв.ед.

Определённый интеграл

Рассмотрим другой подход к определению площади криволинейной трапеции.

Пусть дана криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a;b] (рис. 117). Разобьём отрезок [а; Ь] точками Первообразная и интегралПервообразная и интеграл на n равных отрезков: Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник высотой Первообразная и интеграл, на втором — прямоугольник высотой Первообразная и интеграл,…, на nм — прямоугольник высотой Первообразная и интеграл. В результате получим ступенчатый многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно Первообразная и интеграл; тогда площадь всего ступенчатого многоугольника

Первообразная и интеграл

Суммы такого вида называют интегральными суммами функции f(x) на [а; Ь]. Полученную интегральную сумму можно считать приближённым значением площади S криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]. При этом если Первообразная и интегралто Первообразная и интеграл(риc. 118). Пишут: Первообразная и интеграл .

He только задача о нахождении площади криволинейной трапеции, но и много других важных прикладных задач приводят к вычислению пределов подобных интегральных сумм. Поэтому для такого понятия введено специальное название и обозначение.

Первообразная и интеграл

Предел интегральной суммы Первообразная и интеграл функции f(x) на отрезке [а; Ь], если Первообразная и интеграл, называют определённым интегралом функции f(x) от а до Ь.

Его обозначают символом Первообразная и интеграл (читают: интеграл от а до b эф от икс де икс). Здесь числа а и b пределы интегрирования, Первообразная и интеграл — знак интеграла, f(x) — подинтегральная функция, хпеременная интегрирования.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь], равна Первообразная и интеграл, т. е.Первообразная и интеграл. Как доказано в предыдущем пункте, эта площадь равна Первообразная и интеграл, где Первообразная и интеграл — первообразная для функции f(x). Поэтому

Первообразная и интеграл

Это — формула Ньютона—Лейбница, основная формула математического анализа. Она даёт возможность решать много разных интересных и содержательных задач — абстрактных и прикладных, в частности — и очень важных. Решали такие задачи сотни математиков еще задолго до создания математического анализа. Но для каждой задачи раньше они находили отдельный оригинальный способ решения. Найдя и обосновав формулу Ньютона—Лейбница, учёные получили общий и очень эффективный способ решения таких задач. Не случайно открытие формулы Ньютона—Лейбница специалисты считают самым важным открытием XVII века.Рационализировать вычисления определённых интегралов часто помогает такое их с в о й с т в о:

Первообразная и интеграл

Справедливость этой формулы вытекает из следующих преобразований:

Первообразная и интеграл
Первообразная и интеграл

Задача №7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл

Решение:

Построим графики данных функций (рис. 119). Надо найти площадь закрашенной фигуры. Она равна разности площадей фигур ОВАК и ОВАР. Границы интегрирования — абсциссы точек О и А, в которых пересекаются графики функций, т. е. значения х удовлетворяющие системе уравнений Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл. Из системы получим уравнение Первообразная и интеграл корни которого Первообразная и интеграли Первообразная и интеграл

Следовательно, искомая площадь

Первообразная и интеграл

Ответ. Первообразная и интегралкв. ед.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Функции и их основные свойства
Предел последовательности
Степени с действительными показателями
Показательные функции