Для связи в whatsapp +905441085890

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

Определение 1. Функция Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства называется первообразной от функции Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства на отрезке Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, если для всех Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства выполняется равенство

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

Определение первообразной от заданной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование — действие обратное дифференцированию и практически более сложное.

Первообразная для заданной функции не является единственной. Так, Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — первообразная для функции Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, так как Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Но и Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Пример показывает, что если известна одна первообразная Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, то любая другая имеет вид Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, где Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — произвольная постоянная.

Теорема. Если Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства и Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — две первообразные от функции Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства на отрезке Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, то разность между ними равна постоянному числу.

Определение 2. Если функция Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства является первообразной для Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, то выражение Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства называется неопределённым интегралом и обозначается

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

Здесь Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — подынтегральная функция, Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — подынтегральное выражение, Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — переменная интегрирования, Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — дифференциал переменной интегрирования.

Из определений (6.1), (6.2) и правил дифференцирования вытекают свойства неопределённого интеграла:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Последнее равенство справедливо с точностью до произвольной постоянной. Если найти производные от левой и правой частей равенства Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, то Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства.

5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, где Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства.

Следствие свойств 4 и 5 — неопределенный интеграл линейной комбинации конечного числа функций равен линейной комбинации интегралов этих функций (Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — постоянные числа):

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

6. Если Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, то Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, где Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства — произвольная дифференцируемая функция. Это свойство есть следствие свойства инвариантности формы дифференциала функции, согласно которому Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства, если Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства.

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Дифференциал функции, его свойства и применение
Применение 1-й и 2-й производной для исследования функций
Таблица интегралов и табличное интегрирование
Интегрирование по частям