Оглавление:
Плоскость и прямая в пространстве
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют совокупность трех взаимно перпендикулярных прямых пространства, пересекающихся в одной точке, на каждом из которых заданы положительные направления и единицы масштаба.
Прямые системы называются осями абсцисс, ординат и апликат. Положение любой точки пространства характеризуется тремя числами — координатами этой точки.
Рассмотрим уравнение плоскости и прямой в пространстве. Пусть 
— произвольная плоскость в пространстве. Вектор 
, перпендикулярный плоскости , называется вектором нормали к этой плоскости.
Если известна точка 
плоскости и 
— вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена. Возьмем на плоскости произвольную точку 
. Эта точка принадлежит плоскости в том и только том случае, если вектор 
. Значит их скалярное произведение 
. Так как и 
, то 
или
— уравнение плоскости в пространстве, где 
.
Всякую прямую в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, поэтому прямая в пространстве всегда задается системой уравнений двух плоскостей:
Направляющим вектором прямой в пространстве называют любой ненулевой вектор параллельный этой прямой. Если направляющий вектор прямой имеет вид 
и точка 
принадлежит данной прямой, то уравнение этой прямой записывается в виде
— канонические уравнения прямой.
В частности, если известны две точки прямой в пространстве 
, то в качестве направляющего вектора этой прямой можно рассматривать вектор 
и уравнение прямой будет иметь вид:
— уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении запишем в виде
— параметрическое уравнение прямой.
Задача №21.
Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку 
(l; -2; 3) и параллельно вектору 
(2; 4;-5).
Решение:
Так как прямая параллельна вектору , то координаты направляющего вектора прямой совпадают с координатами данного вектора, т. е. 
(2; 4;-5). Учитывая, что эта прямая проходит через точку (1; -2; 3), запишем ее каноническое уравнение
и параметрическое уравнение прямой
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Решение задачи на треугольник |
| Векторы и операции над ними задачи с решением |
| Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов задачи с решением |
| Кривые линии второго порядка задачи с решением |
