Показательные неравенства с примерами решения

Показательные неравенства

При решении показательных неравенств используются свойства показательной функции.

Показательная функция Показательные неравенства с примерами решения определена на множестве вещественных чисел Показательные неравенства с примерами решения, является возрастающей при Показательные неравенства с примерами решения (рис. 23.1) и убывающей при Показательные неравенства с примерами решения (рис. 23.2), множество значений этой функции — совокупность всех положительных чисел. Неравенства вида

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

и

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

называют простейшими показательными неравенствами.

Если Показательные неравенства с примерами решения то неравенство (1) является верным при всех Показательные неравенства с примерами решения, а неравенство (2) не имеет решений. Пусть Показательные неравенства с примерами решения тогда:

а) если Показательные неравенства с примерами решения то неравенство (1) справедливо при Показательные неравенства с примерами решения а неравенство (2) — при Показательные неравенства с примерами решения (рис. 23.1);

Показательные неравенства с примерами решения

б) если Показательные неравенства с примерами решения то множество решений неравенства (1) — промежуток Показательные неравенства с примерами решения а множество решений неравенства (2) — промежуток Показательные неравенства с примерами решения(рис. 23.2).

Неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

при Показательные неравенства с примерами решения равносильно неравенству Показательные неравенства с примерами решения а в случае, когда Показательные неравенства с примерами решения неравенство (3) равносильно неравенству Показательные неравенства с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №272.

Решить неравенство Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:

Показательные неравенства с примерами решения

откуда Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные неравенства с примерами решения.

Пример №273.

Решить неравенство

Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

Запишем данное неравенство в виде (3), где Показательные неравенства с примерами решения Получим неравенство

Показательные неравенства с примерами решения

равносильное каждому из следующих неравенств:

Показательные неравенства с примерами решения

Искомое множество решений — объединение промежутков Показательные неравенства с примерами решения и Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные неравенства с примерами решения

Пример №274.

Решить неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

Неравенство (4) сведем к квадратному, полагая Показательные неравенства с примерами решения Получим неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Так как уравнение Показательные неравенства с примерами решенияимеет корни Показательные неравенства с примерами решениято неравенство (5) можно записать в виде

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

где Показательные неравенства с примерами решения Поэтому неравенство (6) равносильно неравенству Показательные неравенства с примерами решения Итак, Показательные неравенства с примерами решения или Показательные неравенства с примерами решенияили Показательные неравенства с примерами решенияоткуда Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные неравенства с примерами решения

Пример №275.

Решить неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

Положим Показательные неравенства с примерами решения тогда неравенство (7) примет вид

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Неравенство (8) равносильно каждому из следующих неравенств :

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Так как Показательные неравенства с примерами решения то неравенство (9) равносильно неравенству

Показательные неравенства с примерами решения

откуда получаем Показательные неравенства с примерами решения т. е. Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные неравенства с примерами решения

Показательные неравенства с примерами решения

Пример №276.

Решить неравенство

Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

Разделив обе части данного неравенства на Показательные неравенства с примерами решения и полагая Показательные неравенства с примерами решения получим неравенство

Показательные неравенства с примерами решения

равносильное неравенству

Показательные неравенства с примерами решения

откуда Показательные неравенства с примерами решения так как Показательные неравенства с примерами решения Значит, исходное неравенство равносильно неравенству Показательные неравенства с примерами решения откуда Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные неравенства с примерами решения

Пример №277.

Решить неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

Неравенство (10) равносильно каждому из следующих неравенств:

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

1) Если Показательные неравенства с примерами решения или Показательные неравенства с примерами решения то Показательные неравенства с примерами решения и неравенство (11) равносильно каждому из неравенств

Показательные неравенства с примерами решения

откуда следует, что либо Показательные неравенства с примерами решения либо Показательные неравенства с примерами решенияВ этом случае решениями неравенства (11) являются все числа Показательные неравенства с примерами решения такие, что Показательные неравенства с примерами решенияа также все числа Показательные неравенства с примерами решения из промежутка

2) Если Показательные неравенства с примерами решения то Показательные неравенства с примерами решения и неравенство (11) примет вид Показательные неравенства с примерами решения откуда Показательные неравенства с примерами решения В этом случае множество решений неравенства (11) — промежуток Показательные неравенства с примерами решения

Таким образом, множество всех решений неравенства (10) — объединение промежутков Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные неравенства с примерами решения

Пример №278.

Для каждого значения параметра а решить неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

При Показательные неравенства с примерами решениянеравенство (12) не имеет решений, так как Показательные неравенства с примерами решения для всех Показательные неравенства с примерами решения Пусть Показательные неравенства с примерами решения тогда, полагая Показательные неравенства с примерами решения запишем неравенство (12) в виде

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Так как квадратное уравнение Показательные неравенства с примерами решения имеет корни Показательные неравенства с примерами решения и Показательные неравенства с примерами решения то неравенство (13) равносильно неравенству

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Рассмотрим два возможных случая: Показательные неравенства с примерами решения

1) Если Показательные неравенства с примерами решения то Показательные неравенства с примерами решения и множество решений неравенства (14) — интервал Показательные неравенства с примерами решения т. е. Показательные неравенства с примерами решения или Показательные неравенства с примерами решения откуда Показательные неравенства с примерами решения

2) Если Показательные неравенства с примерами решения то Показательные неравенства с примерами решения и множество решений неравенства (14) — интервал Показательные неравенства с примерами решения т.е. Показательные неравенства с примерами решения или Показательные неравенства с примерами решенияоткуда Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Если Показательные неравенства с примерами решения то неравенство не имеет решений. Если Показательные неравенства с примерами решения то Показательные неравенства с примерами решения если Показательные неравенства с примерами решениятоПоказательные неравенства с примерами решения

Пример №279.

Решить неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Решение:

Полагая Показательные неравенства с примерами решения, где Показательные неравенства с примерами решения запишем неравенство (15) в виде

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

При Показательные неравенства с примерами решения обе части неравенства (16) определены и положительны. Возводя их в квадрат, получаем неравенство

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

равносильное неравенству (16) при Показательные неравенства с примерами решения

Рассмотрим два случая: Показательные неравенства с примерами решения

1) Если Показательные неравенства с примерами решения то Показательные неравенства с примерами решенияи неравенство (17) равносильно каждому из следующих неравенств:

Показательные неравенства с примерами решения

Итак, Показательные неравенства с примерами решения, откуда Показательные неравенства с примерами решения

2) Если Показательные неравенства с примерами решения то неравенство (17) можно записать в виде

Показательные неравенства с примерами решения

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Пусть Показательные неравенства с примерами решения тогда неравенство (18) является верным. Пусть Показательные неравенства с примерами решения тогда неравенство (18) равносильно каждому из неравенств

Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения

Так как уравнение Показательные неравенства с примерами решения имеет корни Показательные неравенства с примерами решения Показательные неравенства с примерами решения где Показательные неравенства с примерами решения то Решениями неравенства (19) при Показательные неравенства с примерами решения являются значения Показательные неравенства с примерами решения из интервала Показательные неравенства с примерами решения Итак, решения неравенства (18) образуют интервал Показательные неравенства с примерами решения т.е. Показательные неравенства с примерами решения откуда Показательные неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные неравенства с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси с примерами решения
Иррациональные неравенства с примерами решения
Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения
Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения