Для связи в whatsapp +905441085890

Полином Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена

Полином Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена

Пусть функция определена и n + 1 раз дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку ®q. Найдем полином степени n, который вместе со своими производными до n-ой включительно, совпадает с соответствующими значениями функции и се производных в точке (полином Тейлора в точке ). Этот полином нам удобно искать в виде:

Вычислим коэффициенты полинома Тейлора. С одной стороны, . с другой , поэтому . Далее будем последовательно дифференцировать полином и приравнивать его производные в точке соответствующим производным функции

Таким образом,

и, следовательно,

— полипам Тейлора а точке .

Найдем разность , т. е. величину ошибки, которую мы совершаем, заменив функцию ее полиномом Тейлора. Рассмотрим функции

Заметим, прежде всего, что дня них

Применим последовательно теорему Коши (§3) к функциям и их производным до т—ой включительно на соответствующих отрезках:

где Отсюда, учитывая, что

получим:

Таким образом.

т. e. данная n + 1 раз дифференцируемая в интервале, содержащем точку , функция представляется в этом интервале в виде суммы своего полинома Тейлора и погрешности :

где

Найденное представление называется формулой Тейлора. порядка n для функции в точке с остатком в форме Лагранжа. В частном случае при из (1) следует формула Маклорена:

Если потребовать, чтобы функция была раз дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку раз дифференцируема в точке , то для этой функции имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано:

в которой

Замечание 1. Из определения полинома Тейлора следует, что он для функции находится однозначно и полином Тейлора для суммы (разности) функций равен сумме (разности) их полиномов Тейлора.

Замечание 2. Подстановка сводит задачу разложения функции по формуле Тейлора к задаче представления функции с помощью формулы Маклорена.

Так как величина представляет собой приращение аргумента в точке , то мы можем переписать формулу Тейлора (3) в дифференциалах (§2, пункт 3):

Из многочисленных приложений формулы Тейлора отметим здесь возможность приближенного вычисления значений функции с любой точностью. Действительно, если задана точность вычисления . то в качестве приближенного значения функции мы можем взять значение ее полинома Тейлора, подобрав n таким, чтобы остаток формулы Тейлора был меньше по абсолютной величине, чем точность . Более удобной в этом отношении является формула (1), так как мы можем оценить величину’ се остатка.



Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:

Математический анализ онлайн помощь

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций для математического анализа
Правило Лопиталя для математического анализа
Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
Монотонность. Точки экстремума: теорема и доказательство