Помощь по высшей математике — решение заданий и задач онлайн

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Как получить помощь в выполнении заданий по высшей математике

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю ваш заказ и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько стоит помощь

Стоимость помощи зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения

Минимальный срок выполнения составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки.

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по некоторым темам высшей математики, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Высшая математика

Ниже я предоставила краткую теорию по всем темам высшей математики, чтобы вы смогли освежить память.

Основные понятия теории множеств

Определения, термины и символы

Множество — совокупность различимых между собой объектов, объединяемых в целое некоторым общим признаком. Например, множества студентов, книг, законов, чисел и т.п.

Обозначения: — множества, — элементы (точки) множеств.

Изображение:

Круги или диаграммы Эйлера-Венна.

Принадлежность:

— принадлежит множеству (или входит в );

— не принадлежит множеству (или не входит в ).

Задание — два основных способа:

1. Перечисление: .

2. Указание характеристического свойства: — множество состоит из элементов , удовлетворяющих свойству . Например, если состоит из точек интервала , то запишем: .

Задание множеств с помощью свойства используется при невозможности задать его перечислением.

При факторном рассмотрении множества могут выделяться его отдельные части. Это называется выделением подмножеств:

Множество называется подмножеством множества , если все элементы принадлежат и : включено (или содержится) в . Если хотя бы один элемент не содержится в , то не подмножество (не включено в) .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом и аналогично понятию нуля в арифметике. Оно является подмножеством любого множества. Вообще, множество можно разбить на подмножества самыми разными способами. Так, из , можно получить подмножества: . При этом и называются несобственными подмножествами , остальные — собственными подмножествами .

Заметим, что нельзя путать символы и . Не имеют смысла выражения или , т.к. 3 — элемент, но не совокупность объектов, — не элемент, а объект с условным номером 8, который может содержать большой набор элементов.

Для множества , содержащего элементов, число всех возможных подмножеств равно .

Операции над множествами

1. Множества и равны, , тогда и только тогда, когда и , т.е. состоят из одинаковых элементов, причем порядок следования элементов не имеет значения: если , , то .

2. Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и , и : .

3. Объединением (или суммой) множеств и называется множество всех элементов, входящих либо в , либо в . Причем общие элементы учитываются только один раз:

или .

4. Разностью множеств и называется множество , состоящее из тех элементов множества , которые не содержатся в множестве : и . Отметим, что не равно .

Заметим, что на втором рисунке . В этом случае разность называется дополнением множества до множества и обозначается .

5. Симметрической разностью множеств и называется множество , состоящее из элементов, принадлежащих только и только : .

6. Абсолютным дополнением множества называется множество всех элементов, которые не принадлежат множеству . Например, если , то .

Введенные выше операции распространяются и на несколько множеств. С помощью диаграмм Эйлера можно легко доказать ряд свойств операций с множествами, во многом похожих на обычные арифметические. Наиболее часто встречающимися являются следующие свойства:

1. — коммутативность.
2. — ассоциативность.
3. — дистрибутивность.
4. .
5. — идемпотентность.
6. — поглощение.
7. .
8. .
9. — двойственность.

Основные числовые множества

В процессе получения количественных результатов мы постоянно имеем дело с множествами чисел. Приведем классификацию числовых множеств:

1. Натуральные числа .
2. Неотрицательные числа .
3. Целые числа .
4. Рациональные числа , где .
5. Действительные числа , полная совокупность рациональных и иррациональных чисел.

Очевидно: , т.е. каждое числовое множество является подмножеством следующего.

Все эти числовые множества обладают свойством упорядоченности, т.е. для любых двух элементов и любого множества можно указать, что либо , либо . Для трех различных элементов , и выполняется свойство транзитивности: из и следует, что .

Ясно, что все числовые множества — бесконечны, причем и — счетные (т.е. элементы этих множеств можно перенумеровать), — несчетное множество.

При практических расчетах мы достаточно часто имеем дело не со всем числовым множеством, а с его некоторой частью, т.е. подмножеством. Изображение подмножеств числовых множеств удобно иллюстрировать с помощью числовой оси, которая в этом случае является вариантом диаграммы Эйлера-Венна. Напомним, что числовой осью называется линия (чаще всего прямая), на которой указаны: начало отсчета, направление отсчета и единица измерения. Для удобства примем, что если конец интервала является элементом описываемого множества, то он обозначается кружочком, а если нет, то — крестиком. Тогда основные типы интервалов определяются следующим образом:

или — ограниченный открытый интервал (или открытый промежуток), концы и не принадлежат данному множеству точек;

или , или , аналогично или , или — неограниченные открытые интервалы;

или — ограниченный замкнутый интервал, концы и принадлежат данному множеству точек (другие названия: отрезок, сегмент, замкнутый промежуток);

или — полуоткрытый интервал. И другие аналогичные варианты. Легко заметить, что квадратная скобка соответствует нестрогому знаку неравенства или , а круглая скобка — строгому знаку < или >.

Для оценивания множеств на практике удобно использовать дополнительные характеристики. Пусть — произвольное, но не пустое множество. Число называется максимумом множества , если и любые другие элементы множества не превосходят этого числа: . Аналогично определяется и минимум множества .

Множество называется ограниченным сверху, если существует число , такое, что для всех элементов множества справедливо . Это число назовем верхней гранью (или мажорантой) множества . Минимально возможное значение называется точной верхней гранью множества и обозначается .

Множество называется ограниченным снизу, если существует число , такое, что что для всех элементов множества справедливо . Это число назовем нижней гранью (или минорантой) множества . Максимально возможное значение называется точной нижней гранью множества и обозначается .

Функция

Определение и свойства функции

Напомним известные из школьного курса понятия, которые во многом наполняются новым содержанием в высшей математике.

Если каждому элементу из множества ставится в соответствие определенный элемент множества , то называется функцией аргумента на множестве .

Множество называется областью определения функции, a — областью значений функции.

Задание функции производится следующими способами:

1. Аналитическим — формулой;
2. Табличным;
3. Графическим;
4. Программой для ЭВМ;
5. Словесным (семантическим).

К основным свойствам функции относятся:

1. Функция называется четной, если ; нечетной, если ; иначе — общего вида.

2. Если каждому следующему значению в данном интервале соответствует большее (меньшее) значение , то функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на интервале.

3. Если функция на всем множестве не превосходит некоторого числа , т.е. , то функция называется ограниченной, иначе — неограниченной.

4. Функция называется периодической с периодом , если соблюдается равенство .

5. Если любому значению соответствует только одно числовое значение , то функция называется непрерывной, иначе в некоторых точках функция терпит разрыв.

Классификация функций

На практике встречаются самые различные функции. Многие из них можно отнести к исторически сложившимся типам, которые мы перечислим:

1. Основные элементарные функции:

— степенная ;

— показательная ;

— логарифмическая ;

— тригонометрические ;

— аркфункции .

2. Алгебраические функции:

— целая рациональная (полином)

— рациональные — отношение полиномов.

— иррациональные — наличие радикалов (дробных степеней).

3. Неалгебраические (трансцендентные) функции.

К ним относятся тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные функции.

4. Неявные функции.

Если значение у определяется из уравнения , то функция называется неявной. Примеры: .

5. Сложные функции.

Это функции составного типа или более громоздкие и т. п. Для анализа удобно представлять их системами:

и

Например, функция .

Вычисление значений функции

Если функция задана формулой, то конкретное значение при любых определяется подстановкой. Но при табличном задании (т. е. на дискретном множестве точек) следует использовать интерполяцию. Наиболее простой является линейная, позволяющая приближенно подсчитать значение функции в промежутке между двумя известными значениями. Чем меньше разница (по оси ) между известными значениями функции, тем точнее результат интерполяции:

Для любого в интервале между известными точками и значение :

Аналогично можно определить неизвестное значение по известному значению (обратная задача):

Общее уравнение прямой линии

Общее уравнение прямой линии имеет вид , где , , . Другая форма записи (нормализованное уравнение) , где . Отметим, что , где — угол наклона прямой к оси . Придавая нулевые значения коэффициентам, получим варианты общего уравнения:

или — прямая, параллельная оси ;

или прямая, параллельная оси ;

или — прямая проходит через начало координат;

— вырождение прямой.

Таким образом, всякое невырожденное уравнение первой степени при является уравнением прямой линии на плоскости.

Если на плоскости имеются две прямые и , то их взаимодействие описывается четырьмя случаями:

1. Точка пересечения прямых определится из системы уравнений:

или

2. Если прямые параллельны, то соблюдается условие:

3. Если прямые перпендикулярны, то соблюдается условие:

или

4. Угол между прямыми определится из условия:

или

Здесь знак модуля взят для обеспечения положительного результата.

Дополнительная теория к этой теме:

• Варианты уравнения прямой
• Построение прямых. Расстояния

Определители

Определители второго и третьего порядков

Определителем второго порядка называется число , вычисляемое по формуле и равное разности произведений элементов главной диагонали ( и ) и элементов побочной диагонали ( и ). Формально определитель записывается квадратной таблицей чисел (или функций). Вычисление определителей третьего и более высоких порядков — уже не так просто, как . Так, для определителя третьего порядка , покажем два новых понятия, справедливых для определителей любого порядка:

1. Минором определителя называется определитель на единицу меньшего порядка, получаемый из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент . Так, для :

и т.д.

2. Алгебраическим дополнением или адъюнктом называется произведение минора на , т.е. . Здесь — номер строки, — номер столбца, где расположен элемент . Так, для определителя :

и т.д.

После введения этих понятий, можно указать общее правило вычисления определителей: определитель -го порядка равен сумме произведений элементов любого ряда (т.е. любых строки или столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. разлагается по элементам строки или столбца:

и т.д.

Совершенно аналогично вычисляются определители 4-го и более высоких порядков. Но их миноры — уже увеличиваются до третьего и выше порядков. Это влечет за собой резкое возрастание количества арифметических операций. Поэтому на практике редко просчитываются определители порядка выше четвертого.

Отметим, что определитель первого порядка — не интересен, т.к. это — просто число: , поэтому отдельно не рассматривается. Формально с их помощью можно записать общее выражение для , но это явно не нужно.

Основные свойства определителей

Определители обладают большим рядом свойств, многие из которых, к настоящему времени, устарели и не используются в эпоху компьютеров. Приведем только те, которые удобны при практических вычислениях:

1. При транспонировании (замене строк столбцами) определитель не изменится: , где — знак транспонирования.

2. При однократной перестановке двух параллельных рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак:

3. Если два параллельных ряда (две строки или два столбца) определителя одинаковы, то определитель равен нулю:

4. Определитель с нулевыми рядом (строкой или столбцом) равен нулю:

5. Диагональный или треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали:

Все эти свойства легко доказываются прямым вычислением. Другие свойства определителей приводятся в учебниках, перечисленных в конце этой темы.

Определители и системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из двух уравнений первого порядка:

Выделим из этой системы три определителя: определитель самой системы , определитель для первого неизвестного , определитель для второго неизвестного . Обратим внимание, что индексы у определителей для неизвестных будут теперь соответствовать номеру неизвестного в системе. Рассмотрим три возможных случая:

1. Определитель системы . Тогда имеем единственное решение (формулы Крамера для двух неизвестных).

2. . В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

3. , но или , или оба вместе, не равны нулю. В этом случае система несовместна, т.е. не имеет никаких решений.

Совершенно аналогично строятся формулы Крамера для систем более высокого порядка. Так, для трех уравнений:

Тогда, если , то единственное решение определится формулами .

Так же, как и при вычислении определителей, формулы Крамера, из-за арифметических трудностей, используются на практике для систем не выше третьего — четвертого порядков.

Матрицы

Определения

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая строк и столбцов, т.е. размерность . Примеры:

— прямоугольная;

— квадратная;

— строка (или: матрица-строка); — вектор (или: матрица-столбец); — единичная (всегда квадратная); — диагональная (тоже всегда квадратная).

Квадратная матрица называется симметричной, если при .

Заметим, что матрица качественно отличается от определителя. Матрица — не число, а нераздельное множество чисел, представленное в виде таблицы. Только квадратные матрицы можно связать с определителями, которые в этом случае будут иметь статус некоторой полезной характеристики при операциях с квадратными матрицами.

Матрицы имеют большое практическое значение, т.к. многие объекты и процессы проще всего описывать именно матрицами.

Операции над матрицами

1. Две матрицы и равны, если они имеют одинаковую размерность и , т.е. равны соответственно расположенные элементы.

2. Две матрицы одинаковой размерности можно суммировать: , причем результатом будет поэлементная сумма: :

3. Матрицу любой размерности можно умножить на число . Это значит — умножить на это число все элементы матрицы: .

4. Матрицу можно умножить на матрицу , тогда и только тогда, когда число столбцов у , т.е. , равно числу строк у . Результатом будет матрица . Элемент этой матрицы равен сумме произведений элементов строки в матрице на элементы столбца в матрице . Примеры:

Несколько матриц множим по очереди: .

Отметим, что, в отличие от числовой арифметики, матрицы редко подчиняются правилу . Чаще всего , если такая перестановка в принципе возможна. В немногих случаях, когда равенство соблюдается, и называются коммутирующими матрицами. Особого практического значения они не имеют.

Транспонирование матриц и его свойства

Так же, как в определителях, транспонирование — это замена строк столбцами: если , то . Приведем основные свойства транспонирования, которые легко доказываются вычислением:

1. Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу: .
2. Транспонирование суммы матриц эквивалентно сумме транспонированных слагаемых: .
3. Транспонирование произведения двух матриц эквивалентно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: .
4. Произведение матрицы на свою транспонированную: или всегда имеет результатом симметричную квадратную матрицу.
5. Если матрица — квадратная, то значение ее определителя не зависит от транспонирования: .

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю. Если , то заданная матрица обратной не имеет и называется особенной (или вырожденной).

Матрица называется обратной но отношению к матрице , если выполняется равенство: .

Алгоритм вычисления покажем на примере по шагам:

1. Вычисляем определитель . Если , то работа прекращается с заключением: — вырожденная матрица.

2. Вычисляем все адъюнкты матрицы : .

3. Из вычисленных адъюнктов составляем союзную (или присоединенную) матрицу . Обратим внимание, что индексы этой матрицы транспонированы по отношению к исходной матрице .

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Если расчет проводится вручную, то выполняется проверка: или .

Перечислим основные свойства обратной матрицы:

1. .

2. , т.е. при раскрытии скобок порядок сомножителей меняется на обратный.

3. , т.е. операции обращения и транспонирования можно менять местами.

В заключение отметим, что из-за арифметического объема работы с определителями, использование описанной процедуры ограничивается матрицами второго и третьего порядков.

Матричные уравнения

Любая система линейных уравнений может быть легко переписана в матричной форме:

или .

Умножим полученное матричное уравнение на матрицу слева: , откуда , т.е. при известной матрице можно получить решение для произвольных значений в векторе . Относительно привычного нам вектора отметим, что можно решать и самые общие уравнения, в которых неизвестными являются уже не векторы, а матрицы, причем не всегда квадратные: — здесь для получения ответа надо умножить уравнение на справа.

Степень и функции матриц

Для квадратных матриц целая степень матрицы определяется так же, как и для обычных чисел: ( сомножителей). При этом полагается: .

В целом ряде случаев необходимо использовать отрицательную степень матрицы. Она может быть введена по правилу: .

С помощью этих формул можно решать задачи типа: если известен закон изменения , то: определить — функцию от матрицы. Например, если , то . Если , то .

Ясно, что матрица должна быть такой, чтобы все операции имели смысл. Единичная матрица использована для формального преобразования обычных чисел к матричной записи. По размерности она должна соответствовать матрице .

Понятие о проблеме собственных значений матрицы

В большом ряде моделей процессов и в задачах анализа требуются как оценка имеющегося объекта, так и сравнение между собой различных моделей. Так как матрицы — один из наиболее распространенных способов описания экономических процессов и объектов, то использование их универсальных характеристик удобно для задач эталонного сравнения. Собственные значения и векторы и представляют собой такие характеристики.

Собственным вектором квадратной матрицы называется вектор , удовлетворяющий матричному уравнению , где — собственное значение матрицы, соответствующее вектору .

Представим это равенство в виде

Чтобы это однородное матричное уравнение имело ненулевые решения , необходимо и достаточно равенство нулю определителя

Это — характеристическое уравнение (степени ) для матрицы .

Отсюда получаем сначала собственные значения , а затем собственные векторы . Общее число этих характеристик равно порядку матрицы .

Рассмотрим пример: определить собственные значения матрицы .

Составим: ; или , откуда получим два собственных значения: .

Определим собственные векторы для каждого :

1. , т.е. или .

Собственный вектор определится с точностью до постоянного множителя . Положим , тогда и .

2. и . Полагая , получим и вектор .

Вычисленные собственные значения обычно проверяются по их свойствам:

1. Сумма собственных значений равна сумме диагональных элементов матрицы (следу матрицы ): .
2. Произведение собственных значений связано с определителем матрицы формулой: .
3. Если матрица симметрична, то ее собственные значения всегда действительны, т.е. .

Описанное выше, в целом, представляет собой полную проблему собственных значений — определяются все и для матрицы . В большинстве же практических задач это не нужно — итоговое заключение делается по минимальному (или максимальному) собственному значению и соответствующему ему вектору. При этом нет необходимости решать сложное характеристическое уравнение полностью — надо найти только один нужный корень. Такая задача называется частичной проблемой собственных значений. Для ее решения имеются достаточно простые и быстрые методы.

Дополнительная теория к этой теме:

• Норма матрицы

Векторы

Основные определения и понятия

Частный случай матрицы, состоящей из одного столбца, имеет широкое самостоятельное применение. Геометрическое изображение вектора направленным отрезком, известное из школьного курса, можно определить как совокупность проекций вектор-отрезка, записанных в виде матрицы-столбца. Тогда имеем понятие свободного вектора, не зависящего от точки приложения, которая может быть как в начале координат (радиус-вектор), так и в любой точке пространства. Направление вектора всегда строго сохраняется. Для двумерного случая: или или . Для общности, все проекции в дальнейшем обозначаются через и называются координатами вектора. Если какая-то проекция отрицательна, то она откладывается в противоположную сторону соответствующей оси координат.

Совершенно так же выглядят векторы в трехмерной системе координат — добавляется координата . Но векторы размерности более трех наглядно не представимы — они могут быть поняты только по аналогии. Общее определение: вектором в -мерном пространстве называется упорядоченный набор координат , число которых равно размерности пространства, т.е. .

Длина вектора определяется формулой . Все операции с векторами — те же, что и матрицами.

Рассмотрим линейную комбинацию трех векторов: .

Если равенство возможно только при , то векторы и называются линейно независимыми. Иначе, но крайней мере, один из векторов можно выразить суммой двух других и векторы будут линейно зависимыми . Например, при можно записать: .

Максимально возможное число линейно независимых векторов равно размерности пространства. Так, для плоскости возможны только два таких вектора, для прямой — один. Для -мерного пространства число векторов равно .

Пусть на плоскости имеются векторы и . Покажем, что они линейно зависимы. Составим их линейную комбинацию: и перейдем к алгебраической форме:

Таким образом, положив , имеем: или , т.е. третий вектор не является независимым и выражается суммой двух других или разлагается по двум другим векторам. Рассмотрим первые два вектора подробнее: и . Тогда — очень компактная запись через единичные векторы (или орты). Покажем, что орты линейно независимы: или , откуда .

Так как и произвольны, то, очевидно, любой вектор на плоскости можно представить комбинацией двух ортов и . Это называется разложением вектора по единичному базису или, точнее, но ортонормированному, т.к. длина каждого орта равна 1. Конечно, можно разлагать не по ортам, а по двум любым линейно независимым векторам (по общему базису), к примеру, и , но разложение с помощью ортов является и простым, и общим.

Все введенные выше понятия справедливы для пространства любой размерности. В -мерном пространстве всегда имеются линейно независимых ортов , поэтому любой вектор можно разложить по ортонормированному базису: . Разложение векторов по базису из линейно независимых векторов всегда единственно в любом принятом базисе.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число . Часто вместо используется обозначение (,).

Если, к примеру, — контейнеры с товарами, — стоимость одного контейнера, то — суммарная стоимость всех контейнеров.

Скалярное произведение имеет следующие основные свойства:

1. — коммутативность.
2. — дистрибутивность.
3. — любой из векторов можно умножить на число, не равное нулю.
4. при только в случае — скалярный квадрат не нулевого вектора всегда положителен.
5. Если , то векторы и перпендикулярны (ортогональны).

Пространство всех векторов, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством. Легко проверить, что орты описанных ранее пространств попарно ортогональны, т.к. при . Таким образом, введенное евклидово пространство векторов имеет ортогональный ортонормированный базис.

Пределы

Общее понятие предела переменной величины

Рассмотрим некоторую последовательность, зависящую от натурального аргумента , например: :

Легко заметить, что при возрастании члены последовательности все ближе подходят к значению . Если вокруг этого значения выделить какую-то область радиусом (-окрестность), то при некотором войдет в эту окрестность и уже не выйдет из нее, какой бы малой она ни была. Это и означает, что — предел, к которому стремится последовательность .

Так что, если в некотором процессе изменение таково, что в какой-то момент он попадает в -окрестность числа и не выходит из нее, то — предел величины :

Рассмотрим последовательность , т. е. .

Здесь другой случай: если задаться любым числом , то всегда найдется такое число , что будет больше . Эта последовательность не имеет предела. Условно записывают:

и называют бесконечно большой величиной.

Для последовательности , т.е. при возрастании номера пределом является , т.е. . Если предел равен 0, то величина называется бесконечно малой.

Последнее, что отметим: переменная, зависящая от натурального аргумента, может иметь только один предел.

Предел функции

Пусть теперь для некоторой функции процесс таков, что стремится к числу . Выясним, к чему стремится функция . Если двигаться от 0 к точке , то в некоторый момент войдем в -окрестностъ числа . При этом функция (при движении по графику) будет ограничена по оси -окрестностью, увязанной с -окрестностью по оси , и неизбежно приходит в точку , принимая значение А.

Таким образом, изменение функции , в конечном итоге, приводит к тому, что ее значения не выйдут за пределы — окрестности точки, которая и является ее пределом:

Функция может и не иметь предела. Тогда . Но где-нибудь рядом предел может быть: . Если , то функция называется бесконечно большой в точке (вариант ). Если , то функция называется бесконечно малой в точке (вариант ).

Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) величины

Так как б.м. и б.б. часто встречаются в анализе, то сформулируем их свойства. Для удобства положим — б.м., — б.б. величины при (или ).

1. Если функция может быть представлена суммой постоянного числа и б.м. величины , т.е. , то и обратно, если , то .
2. Сумма нескольких б.м. величин тоже является б.м. величиной.
3. Произведение б.м. величины на ограниченную функцию (или число) также является б.м. величиной.
4. Частное от деления б.м. величины на ненулевую ограниченную функцию (или число) является б.м. величиной.
5. Произведение б.б. величины на ограниченную функцию (или число) также является б.б. величиной.
6. Сумма б.б. величины и ограниченной функции (или числа) является б.б. величиной.
7. Частное от деления б.б. величины на ненулевую ограниченную функцию (или число) является б.б. величиной.
8. Величина, обратная б.м. величине, является б.б. величиной: ; Величина, обратная б.б. величине, является б.м. величиной: .

Теоремы о пределах

Для того, чтобы вычислять пределы, разработан ряд удобных теорем, которые приведем без доказательств:

1. Предел постоянной величины (числа) равен этой постоянной: .
2. Предел суммы равен сумме пределов: .
3. Предел произведения равен произведению пределов: .
4. Предел дроби равен частному пределов числителя и знаменателя при условии, что знаменатель — не б.м. величина: .
5. В неравенствах можно переходить к пределу, т.е., если (или другой знак неравенства), то .

Замечательные пределы

Ряд достаточно часто встречающихся в практике пределов по историческим причинам получил название замечательных. Приведем некоторые из них, встречающиеся в практических задачах:

Вычисление пределов

1. Прямая подстановка: . Это — наиболее общий прием, который всегда используется первым: .
2. Упрощение функций. Если при прямой подстановке получается неопределенное выражение типов: и некоторых других, то выделение общего множителя или приведение к замечательным пределам приводят к нужному результату:

В последнем примере учтено, что, если , то, очевидно, и (свойство 3 в разделе 6.3).

Непрерывность и разрывы функции

Функция называется непрерывной в точке если она:

1. Определена в этой точке, т.е. существует .
2. Имеет предел в этой точке .
3. Предел совпадает со значением функции .

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то функция разрывная в точке . Этот разрыв может быть конечен — скачок (разрыв первого рода), или бесконечен (второго рода).

Для функций, непрерывных в точке сумма , произведение и частное (при ) также непрерывны в этой точке.

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то, при , сложная функция тоже непрерывна в этой точке, т.е. можно записать: .

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. При этом:

1. Она ограничена на этом интервале сверху и снизу (не может быть бесконечного значения).
2. Обязательно имеет минимальное и максимальное значения.
3. Если по концам интервала функция имеет разные знаки, то внутри интервала имеется хотя бы одна точка , в которой (корень функции).

Производная и дифференциал функции

Определения. Геометрический и физический смысл

Приращением функции в интервале называется разность . Если , то функция на интервале возрастает; при — убывает; при — не изменяется.

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю называется производной функции:

Другие, эквивалентные, обозначения:

Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.

Проведем через точку секущую . Если точку устремить к , т.е. уменьшать до нуля, то в момент слияния точек и угол
перейдет в угол : ;

Следовательно, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

С физической точки зрения производная — скорость изменения функции в данной точке.

Если функция имеет единственную производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , называется дифференцируемой в данном интервале.

Табличные производные

С помощью определения можно вычислять производные функций. Пример:

Отсюда и .

Совершенно аналогично можно получить и производные любых других функций. На этой основе разработана и постоянно используется стандартная таблица производных:

Теоремы дифференцирования

Так же, как и при вычислении пределов, математика разработала ряд теорем, ускоряющих вычислительную работу. Приведем их без доказательств:

1. Сумма: .
2. Произведение: .
3. Частное: .
4. Постоянный множитель: .

Производная сложной функции

Как было показано в теме 2 Функция. сложную функцию следует заменить эквивалентной системой. После этого полученную систему дифференцируем по каждому уравнению системы. Окончательный результат получается как произведение промежуточных:

Совершенно аналогично представляются и рассчитываются и более громоздкие функции.

Производная неявной функции

Неявная функция включает в себя составляющие, которые содержат операции над . Например, или и т.п. Рассмотрим выражение , где . Подходя к нему как к сложной функции, запишем систему:

Это и есть правило дифференцирования неявной функции.

Пример:

Следовательно, производная от данной неявной функции имеет вид:
, откуда .

Производные высших порядков

Производная определяет, очевидно, некоторую новую функцию, которую, конечно, можно продифференцировать еще раз. По отношению к исходной функции это будет уже вторая производная или . Ясно, что этот процесс можно продолжать и получать все более высокие производные . По-другому: .

Пример: для и т.д.

Только вторая производная имеет общефизический смысл — она характеризует “скорость изменения скорости’’ функции в точке, т.е. — ускорение.

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим сложную функцию , где . Запишем систему:

Выражение и называется логарифмической производной.

На практике очень часто приходится иметь дело с дифференцированием сложных степенных функций. Предварительное логарифмирование позволяет упростить эту задачу. Пример:

Таким образом, .

Дифференциал функции

Вернемся к определению производной: . С помощью свойства связи предела и бесконечно малой величины (см. главу Пределы), запишем: или . Так как — бесконечно малая и стремится к нулю, то вторым слагаемым можно пренебречь. Тогда первое слагаемое и называется дифференциалом функции . Для того, чтобы подчеркнуть это определение, принято записывать . Рассмотрим геометрический смысл дифференциала:

Дифференциалом функции первого порядка называется главная, линейная относительно приращения , часть приращения функции , равная произведению производной этой функции на приращение аргумента , обозначаемое в этом случае, как .

Эквивалентность записи докажем и по-другому: пусть , тогда

Отсюда и следует . Кроме того, определение дифференциала обосновывает представление производной, как отношения: из следует .

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

Приведем обозначения для дифференциалов высших порядков: и т.д.

Формула для дифференциала используется в приближенных вычислениях. Действительно, из следует: , откуда . Чем меньше значение , тем точнее результат. К примеру, вычислим . Здесь и . Тогда или — практически точно.

Применения производной

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

В задачах по пределам часто встречаются неопределенные отношения или , а также приводимые к ним и некоторые другие. Быстро раскрыть такие неопределенности помогает следующее правило Лопиталя:

и т.д.

т.е. отношение функций заменяется отношением их производных до тех пор, пока неопределенность не исчезнет. Очень важно запомнить, что при отсутствии неопределенности правило Лопиталя применять нельзя.

Пример:

К отношениям двух функций легко приводятся и неопределенности типа , т.е. произведения вида , где . Легко перейти к дробям или и использовать правило Лопиталя обычным образом.

Степенные неопределенности типа и т.п., т.е. функции вида удобно сначала прологарифмировать. Если , то , и используем приведение к отношению или
, после чего правило Лопиталя не вызывает затруднений.

Возрастание и убывание функции

Поясним сущность процесса изменения функции графически.

Из геометрии известно, что для острого угла , для тупого . Так как производная , то на участке 1-2, где — функция возрастает, а на участке 2-3, где , функция убывает.

Таким образом, доказана важная теорема: если производная функции положительна в пределах интервала, то функция на этом интервале возрастает, если производная отрицательна, то функция на интервале убывает.

Особое значение имеет точка 2, в которой касательная параллельна оси и . Такие точки называются стационарными и часто характеризуют момент смены возрастания на убывание и наоборот. Этих точек может быть и несколько.

Экстремумы функции

Среди стационарных точек выделим экстремальные: функция имеет максимум (минимум) в точке , если вблизи этой точки всем значениям соответствуют меньшие (большие), чем . По нашему чертежу точка 2 является точкой экстремума, в данном случае — максимума.

Сформулируем необходимое условие экстремума: если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке ее производная либо равна 0, либо бесконечна, либо не существует.

Отметим, что необходимое условие экстремума еще не гарантирует присутствие экстремума. Кроме того, оно не дает ответа о типе экстремума — минимуме или максимуме. И, наконец, оно может соблюдаться и не в экстремальных точках, что и показано на рисунке.

Таким образом, чтобы установить наличие экстремума и определить его тип, следует сформулировать достаточные условия. На практике используют два основных условия:

Первое достаточное условие экстремума: если в стационарной точке производная меняет свой знак с плюса на минус (с возрастания на убывание), то функция в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс, то функция имеет минимум.

Первое достаточное условие обычно используют в случаях, когда производная имеет громоздкий вид. Если же вторая производная вычисляется достаточно просто, то удобно использовать следующее условие.

Второе достаточное условие: если в стационарной точке вторая производная положительна, то функция в этой точке имеет минимум, если же отрицательна, то функция имеет максимум.

Таким образом, приведем схему определения экстремумов функции :

1. Определяем производную .
2. Находим стационарные точки функции из анализа области определения производной и уравнения .
3. Выбираем первое или второе достаточное условие. В последнем случае находим .
4. Исследуем стационарные точки по достаточному условию, определяем наличие и вид экстремума.
5. Вычисляем экстремальные значения функции .

Заметим, что, если интервал изменения функции ограничен, т.е. , то часто возникает задача отыскания наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов) функции на этом интервале, причем они могут далеко не всегда совпадать с локальными. Для решения проблемы сравниваются не только внутренние экстремумы, но и проверяются значения функции и на концах интервала. На чертеже показано, что глобальный и локальный минимумы совпадают и равны , но глобальный максимум не совпадает с локальным .

Дополнительная теория к этой теме:

• Изгибы функции и их определение

Асимптоты функции

Следующей дополнительной характеристикой функции являются асимптоты. Это — прямые, к которым стремится график функции при неограниченном возрастании (или убывании) аргумента. Существуют три вида асимптот, которые поясним чертежом:

Приведем, без доказательств, технику определения асимптот:

1. Вертикальные асимптоты находятся из анализа области определения функции . Например, не определена в точке , следовательно, и есть вертикальная асимптота.
2. Если существует предел или (или оба вместе), то уравнения или (и) определяют горизонтальные асимптоты.
3. Если существуют конечные пределы и , причем оба одновременно, то прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Общая схема исследования функции и построения графиков

В современных условиях построение графиков осуществляется на практике, как правило, по точкам или с помощью компьютера. Однако в задачах с повышенной ответственностью необходимо использовать описанные выше приемы. Полная последовательность анализа функции и построения ее графика состоит из следующих этапов:

1. Находится область определения функции и вертикальные асимптоты, если они есть.
2. Устанавливается тип функции: четная, нечетная, общего вида.
3. Из решения уравнения определяются корни функции, т.е. точки ее пересечения с осью .
4. Вычисляются производные и .
5. Определяются экстремумы функции.
6. Определяются точки перегиба и исследуются выпуклости функции.
7. Проверяется наличие горизонтальных и наклонных асимптот.
8. При необходимости детализации, вычисляются значения функции в нескольких дополнительных точках.
9. Все полученные результаты отображаются на плоскости, и строится график.

Расчеты и отображение результатов обычно делаются одновременно. Этапы 2, 6 и 7, во многих случаях, можно опустить.

Неопределенный интеграл

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции но ее производной или дифференциалу.

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции , если . Например, является первообразной для функции , так как .

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, можно убедиться, что функции и вообще , где — произвольное число, являются первообразными для функции .

Определение. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где — знак интеграла, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение. Таким образом,

где — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Отметим, что в практических задачах встречаются случаи, когда значение произвольной постоянной можно определить точно. Например, найдем , если заранее известно, что . Здесь имеем: . Тогда и . Таким образом, частное выражение для первообразной запишется в виде .

Свойства неопределенного интеграла

Приведем, без доказательства, основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимно обратны (знаки и интеграла взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, хотя и с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где — число, не равное нулю.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций, т.е.

Свойство 5 является справедливым для любого конечного числа слагаемых.

Интегралы от основных элементарных функций

На основе обращения известных табличных производных и добавления первообразных для ряда часто встречающихся функций, в практике решения задач постоянно используются интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием. Заметим, что к этой таблице в процессе решения задач удобно добавлять часто встречающиеся формулы, т.е. создать индивидуальную таблицу интегралов в зависимости от профессиональных интересов.

Непосредственное интегрирование (метод разложения)

С помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов от элементарных функций становится возможным отыскание первообразных для несложных алгебраических выражений. Например,

В большинстве случае для приведения к табличным интегралам необходимо выполнить предварительное преобразование подынтегрального выражения:

Метод замены переменной

Если подынтегральное выражение является достаточно сложным, то привести его к табличному виду часто удается одним из основных методов интегрирования — методом замены переменной (или методом подстановки). Основная идея метода состоит в том, что в выражение вместо переменной вводится вспомогательная переменная , связанная с известной зависимостью . Тогда подынтегральное выражение преобразуется к новому виду , т.е. имеем

Здесь, по правилу дифференцирования сложной функции, .

Если, после такого преобразования, интеграл является табличным или значительно проще исходного, то замена переменной достигла своей цели.

Пример:

К сожалению, нельзя указать общих правил выбора «удачной» подстановки: такой выбор зависит от структуры конкретного подынтегрального выражения. В разделе 9.12 приводятся примеры, поясняющие различные способы выбора подстановки в ряде частных случаев.

Метод интегрирования по частям

Следующим основным общим методом является интегрирование но частям. Пусть и — дифференцируемые функции. Для произведения этих функций имеем, по свойству дифференциала:

или .

Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая свойство 3 неопределенного интеграла, получаем

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Для ее применения фиксируется разбиение подынтегрального выражения на два сомножителя и . При переходе к правой части формулы первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: ), второй интегрируется: . Такой прием приводит к цели,
если интегрируется легче, чем . Пример:

Иногда для получения результата формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Отметим, что при промежуточном вычислении можно не дописывать произвольную постоянную ; легко убедиться, что в ходе решения она уничтожится.

Интегрирование рациональных дробей

Если подынтегральная функция представляет собой алгебраическую дробь, то на практике достаточно часто встречаются два типовых случая:

1. Степень числителя дроби больше или равна степени знаменателя (неправильная дробь). Для такой дроби можно разделить числитель на знаменатель известным из школьного курса методом деления углом (иначе — выделение целой части), после чего выполнить интегрирование. Пример:

Здесь использовалась и замена переменной:

Для промежуточного расчет произвольную можно не указывать, но в окончательном ответе она обязательна.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Если дробь — правильная и знаменатель разлагается на множители, то этот метод позволяет представить подынтегральную функцию суммой простых дробей, проинтегрировать которые уже несложно. Метод имеет большое значение не только в интегрировании. Покажем его суть на примере вычисления интеграла .

Разложив знаменатель дроби на множители, имеем: . Введем теперь предположение, что эту дробь можно представить суммой простых дробей:

Здесь и — неизвестные коэффициенты, которые следует найти (неопределенные коэффициенты). Для этого приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

Сократив знаменатели и раскрыв скобки, получим

Теперь используем теорему, чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, необходимо и достаточно равенство их соответственных коэффициентов. Таким образом, получим систему из двух уравнений и решим ее:

Следовательно,

Возвращаясь к задаче интегрирования, получим

Дополнительная теория к этой теме:

• Систематическое интегрирование

Понятие о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, аргумент и производные различных порядков данной функции.

Простой пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной для заданной функции , т.к. ее вполне можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению .

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

где — некоторая функция, при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение — второго порядка и т.п.

Дифференциальное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

где — некоторая функция.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция является решением уравнения , так как для любых .

Задача о нахождении решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Отметим, что без дополнительных предположений решение дифференциального уравнения принципиально неоднозначно, т.е., аналогично неопределенному интегралу, содержит постоянные константы , число которых равно порядку уравнения. Такое решение называется общим решением дифференциального уравнения. Для определения этих постоянных и получения однозначного частного решения используются дополнительные условия, которые задают значения решения либо в точке (начальные условия), либо в точках (граничные условия).

В нашем курсе ограничимся изучением дифференциальных уравнений первого порядка (или ) и простейших уравнений второго порядка.

Дополнительная теория к этой теме:

• Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Понятие о дифференциальных уравнениях второго порядка

Общая форма уравнения второго порядка . Ограничимся иллюстрацией случая , когда общее решение может быть получено последовательным интегрированием. Пример:

т.е., после первого интегрирования результатом будет первая производная. Проинтегрируем еще раз для получения общего решения

Произвольные постоянные и могут быть вычислены при наличии начальных или граничных условий.

1. Пусть в точке заданы начальные условия . Подставим в полученное общее решение:

Таким образом, частное решение .

2. Пусть заданы граничные условия . Подставим в то же общее решение:

Таким образом, частное решение .

Обратим внимание, что условия для уравнений второго порядка обладают вариабельностью: можно задавать в точке как значение функции, так и ее первой производной.

Определенный интеграл

Определения

Пусть — функция, непрерывная на отрезке , a — ее первообразная, т.е. . Тогда определенным интегралом функции называется приращение ее первообразной:

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь и — соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, причем .

Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят первообразную для подынтегральной функции ; на втором — применяется собственно формула Ньютона-Лейбница, т.е. вычисляется приращение первообразной, равное искомому интегралу. Легко показать, что значение произвольной постоянной не влияет на результат, поэтому при вычислении первообразной удобно сразу принять .

Пример: .

Отметим формальную разницу между неопределенным и определенным интегралами: неопределенный интеграл — функция, определенный интеграл — число.

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, образованной кривой , осью и линиями и , т.е.

Свойства определенного интеграла

Все пять свойств, сформулированные в разделе 9.2 темы «Неопределенный интеграл» остаются без изменений для определенного интеграла. Но добавляются новые свойства, которые приведем здесь без доказательства.

1. Интеграл с постоянными пределами равен нулю .

2. При перестановке пределов интеграл меняет знак на противоположный

3. Если интервал интегрирования разбит на части, то значение интеграла на всем интервале равно сумме интегралов по каждой из составляющих частей, т.е. при любых :

, при условии, что .

Заметим, что это свойство справедливо при любом числе частей, на которые разбивается интервал .

4. Если на интервале определены две функции и , причем , то , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Основные методы интегрирования

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно найти первообразную и затем применить формулу Ньютона-Лейбница. Некоторое ускорение (чисто арифметическое) процесса интегрирования можно получить с помощью более ранней подстановки пределов интегрирования.

1. Интегрирование но частям. Можно использовать формулу в следующем виде:

Отметим, что по сравнению с формулой выигрыш в скорости расчета невелик.

2. Замена переменной. В этом случае раннее преобразование пределов интегрирования по принятой формуле подстановки может привести к хорошему ускорению, т.к. отпадает необходимость обратной замены. Общая формула имеет вид

, где .

Для ясности, приведем пример:

Интеграл с переменным верхним пределом

В практических задачах часто встречаются случаи, когда имеется начальная точка интервала интегрирования, т.е. , а конец интервала еще не известен. Определенный интеграл вполне можно применить и для таких задач, если известен закон образования верхнего предела ; в простейшем варианте . Формула Ньютона-Лейбница применяется обычным образом, однако результатом будет не число, а функция:

Изменение обозначения переменной интегрирования — чисто психологическое, во избежание путаницы при вычислениях.

Несобственные интегралы

Если предел интегрирования может быть переменным, то легко представить случай, когда он переходит в бесконечность. Интегралы с одним или обоими бесконечными пределами получили название несобственных интегралов первого рода. Здесь также можно, на практике, использовать формулу Ньютона-Лейбница, однако следует помнить, что символ — не число, а условное обозначение неограниченного возрастания (или убывания) аргумента в процессе изменения. Т.е., со строгих позиций, вычисление несобственного интеграла первого рода — это вычисление некоторого предела, с постоянным использованием теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах, приведенных ранее в теме 6 Пределы. Таким образом:

Т.е., символы бесконечности условно заменяются буквенными параметрами, применяется формула Ньютона-Лейбница, после чего обычным образом вычисляются пределы. Если в результате такого расчета получится число (включая 0), то ответ следует записать в форме: интеграл сходится к значению . Если же результатом будет (или —), то ответ: интеграл расходится.

При практических вычислениях, как демонстрируется далее в разделе 10.9, вполне допустимо не использовать в явной форме операторы lim , но не следует забывать о том, что на самом деле вычисляются пределы, а не конкретные числовые значения.

Следующим видом несобственных интегралов являются интегралы от функций с разрывом на одном (или обоих) конце интервала интегрирования или с разрывом внутри интервала интегрирования. Например: и т.п. Такие интегралы носят название несобственных интегралов второго рода. Эти интегралы очень опасны, т.к. часто выглядят вполне безобидно, но применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам.

Вычисление интегралов второго рода осуществляется приведением к интегралам первого рода (или сумме таких интегралов), т.е. ставится задача вычисления предела относительно точки, в которой подынтегральная функция разрывна. Здесь не будем подробно останавливаться на схеме вычисления таких интегралов, т.к., если в прикладной задаче появился интеграл второго рода, то это свидетельствует либо об ошибке расчетчика, либо о некорректности всей математической модели для данной задачи и необходимости изменения этой модели.

Дополнительная теория к этой теме:

• Применение определенного интеграла к вычислению площадей
• Теорема о среднем определенного интеграла
• Формула трапеций

Функции нескольких переменных

Основные понятия

В предыдущих разделах изучались функции одной переменной. Однако многим явлениям присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Определение. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных . Например, формула задает объем параллелепипеда как функцию трех переменных: (длины), (ширины) и (высоты).

Переменные называются независимыми переменными (или аргументами), — зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество называется областью определения функции.

Частный случай функции двух аргументов определяется соотношением . Основное внимание мы уделим именно этому случаю, т.к. функции трех и более переменных легко вводятся по аналогии.

График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Как видно из рисунка, график функции двух переменных — значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается непростой задачей. В то же время поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение . Число в этом случае называется уровнем. На рисунке показаны сечения функции двумя плоскостями и , а также проекции этих сечений на плоскость . Эти проекции изображаются на отдельном чертеже и являются линиями уровня.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры. Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций.

Все определения и большая часть понятий анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай многих переменных без существенных изменений. Несколько увеличивается объем формул, т.к. надо учитывать несколько аргументов. Проиллюстрируем сказанное на примере классического определения предела функции.

Число называется пределом функции при и (или в точке ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа , найдется положительное число , такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

Обозначается предел так: .

Вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на линии существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке, а именно — справа и слева. На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Дополнительная теория к этой теме:

• Частные производные и дифференциалы
• Градиент функции двух переменных

Производные высших порядков

Так как частные производные и являются новыми функциями двух переменных, го можно найти также и их следующие частные производные, которые будут частными производными второго порядка т.е.

и .

Здесь логика вычислений очевидна. Однако обратим внимание на то, что производную можно было бы дальше дифференцировать не по своему аргументу , а по аргументу . Точно так же можно было бы далее дифференцировать по аргументу . Т.е. получить производные

и

Такие производные называются смешанными частными производными второго порядка. В теории функции одного переменного ничего подобного нет.

Рассмотрим производные высших порядков на примере функции . Вычислим первые производные:

, аналогично .

Вторые частные производные:

, аналогично .

А теперь получим смешанные производные:

, аналогично .

Совпадение двух последних результатов не случайно — мы попутно доказали важную теорему. если частные производные второго порядка непрерывны в точке , то в этой точке вторые смешанные производные равны между собой и не зависят от способа их вычисления, т.е.

Для вычисления второй смешанной производной можно использовать любой из этих двух способов. Отметим, что производные порядка выше второго, а также дифференциалы высших порядков редко встречаются в прикладных задачах, поэтому здесь не рассматриваются.

Дополнительная теория к этой теме:

• Абсолютные экстремумы функции двух переменных

Интегрирование функции двух переменных

Двойной интеграл введем аналогично определению геометрического смысла определенного интеграла функции одного переменного: если функция непрерывна и неотрицательна в области , то двойным интегралом называется объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида — см. рисунок), построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью .

Заметим, что неопределенные двойные интегралы на практике не встречаются, поэтому не будем обсуждать непростое понятие первообразной, которая должна учитывать частные производные. Свойства же двойного интеграла те же, что и у однократного.

Интегрирование функции двух переменных значительно более трудная и арифметически громоздкая задача по сравнению с задачей для одной переменной. Рассмотрим наиболее распространенную на практике методику вычисления двойного интеграла сведением к повторному интегрированию.

В этой методике ключевым моментом является область интегрирования . Если эта область непрерывна (см. рисунок) и ее границы могут быть четко определены, то для непрерывной в этой области функции справедлива формула

Таким образом, двойной интеграл сводится к последовательному вычислению двух однократных определенных интегралов (повторных интегралов). При этом внутренний интеграл имеет функциональные (или числовые) пределы интегрирования, а внешний — всегда числовые. Внутренний интеграл (по ) вычисляется в предположении, что — постоянная величина (полная аналогия с вычислением частных производных). Расчет производится с помощью двукратного применения обычной формулы Ньютона — Лейбница.

Заметим, что область интегрирования может быть и бесконечной в одном или в обоих направлениях осей координат. Тогда, при непрерывности функции , имеем несобственные двойные интегралы первого рода, которые, очевидно, сводятся к несобственным повторным интегралам.

Наиболее простым будет случай , где и — константы, т.е. прямоугольник . Тогда

Для практического вычисления двойного интеграла рекомендуется следующая схема:

1. Сделать эскиз области интегрирования , определить все функциональные и числовые границы;

2. С помощью формулы Ньютона — Лейбница вычислить внутренний интеграл (или — для прямоугольника). Ответом, как правило, будет некоторая функция одного аргумента ;

3. С помощью формулы Ньютона — Лейбница вычислить внешний интеграл .

Если область интегрирования имеет сложное очертание, то рекомендуется разбить ее на сумму простых подобластей, например, . Тогда искомый интеграл будет алгебраической суммой интегралов по подобластям, т.е.

В заключение отметим, что двойной интеграл часто используется для вычисления площади плоских фигур. Формула для вычисления площади имеет вид

Производная функции и ее приложения

В заданиях 1, 2, 3 требуется вычислить предел функции в данной точке. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Если функция непрерывна в точке , то ее предел в этой точке равен значению функции в данной точке, т.е.

Пример оформления заказа №1

Найти предел функции

Решение:

Так как данная функция не определена в точке , то вычисление предела производится по следующей схеме

При решении задания 2 необходимо использовать замечательные пределы:

Пример оформления заказа №2

Найти пределы функций

Решение:

1) Применяя первый замечательный предел, находим

При решении второго примера используем второй замечательный предел

В задании 3 для вычисления предела нужно применить правило Лопиталя. Если функции и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки , причем

тогда

если последний предел существует. По правилу Лопиталя раскрывают также неопределенности вида .

Пример оформления заказа №3

Найти предел, используя правило Лопиталя

Решение:

В данном случае, имеем неопределенность вида . Прежде, чем применить правило Лопиталя нужно преобразовать неопределенность в неопределенность вида 0/0 или . Обозначим

Так как

то, применяя правило Лопиталя, находим

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

При дифференцировании функций применяют правила дифференцирования и таблицу производных. Пусть — постоянная, — дифференцируемые функции,тогда

Таблица производных

Производная сложной функции вычисляется по формуле

Например,

Пример оформления заказа №4

Найти производную функции .

Решение:

Применяя правила дифференцирования, имеем

Пример оформления заказа №5

Найти производную функции .

Решение:

Применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем

Пример оформления заказа №6

Найти производные функций

Решение:

В первом случае функция задана неявно, поэтому для нахождения производной дифференцируем обе части равенства

отсюда

Во втором случае функция задана параметрическими уравнениями, поэтому ее производная вычисляется по формуле .

Так как

то производная данной функции равна

Пусть — дифференциальная функция. Дифференциал первого порядка вычисляется по формуле , дифференциал -го порядка вычисляется по формуле .

Пример оформления заказа №7

Найти второй дифференциал функции

Решение:

Для вычисления второго дифференциала сначала нужно найти вторую производную

следовательно, согласно формуле

Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для любого значения из этой окрестности имеет место формула Тэйлора -го порядка

где — остаточный член в форме Лагранжа.

Пример оформления заказа №8

Написать формулу Тэйлора третьего порядка для функции

с остаточным членом в форме Лагранжа в точке .

Решение:

Находим производные до четвертого порядка включительно

Следовательно, по формуле Тэйлора

Пример оформления заказа №9

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение:

Исследование функции производится по следующей схеме.

1) Область определения функции состоит из трех интервалов

2) Функция имеет две точки разрыва . Исследуем поведение функции на границах области определения

Аналогичным образом находим, что

3) Функция нечетная, так как .

4) Находим точки пересечения с осями координат

Следовательно, график функции проходит через начало координат.

5) Находим промежутки возрастания и убывания. Так как производная равна

и функция возрастает, если , то для определения промежутков возрастания нужно решить неравенство . Решая это неравенство получим, что в интервале функция возрастает. В интервале функция убывает.

6) Точки экстремума. Для определения точек экстремума находим критические точки, т.е. точки, в которых производная равна 0 или не существует , , , точки не входят в область определения функции.

Для определения точек экстремума теперь необходимо исследовать изменение знака производной при переходе через критические точки. Полученные данные удобно изобразить графически

Так как при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», то в этой точке функция имеет минимум. Соответственно, в точке функция имеет максимум. Так как при переходе через точку производная не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

7) Промежутки выпуклости. Для определения промежутков выпуклости вверх и вниз определяет знак второй производной на области определения

Следовательно, в интервалах график выпуклый вниз, в интервалах — выпуклый вверх. Точка — точка перегиба.

8) Асимптоты. Так как

то прямые и являются вертикальными асимптотами.

Для определения наклонных асимптот нужно вычислить следующие пределы:

Следовательно, прямая является асимптотой.

9) На основании исследования функции строим ее график.

Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции на отрезке , если на этом отрезке выполняется равенство

Совокупность всех первообразных от функции называется неопределенным интегралом и обозначается

Отыскание для функции всех ее первообразных называется интегрированием. При вычислении интегралов используют таблицу основных интегралов.

Пример оформления заказа №10

Вычислить интеграл

Решение:

Используя свойства интеграла и таблицу интегралов, находим

Пример оформления заказа №11

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления данного интеграла необходимо сделать замену переменной . Приравнивая дифференциалы, получим , . После подстановки в интеграл, получим

Пример оформления заказа №12

Вычислить интеграл

Решение:

Для решения задания 3 нужно применить формулу интегрирования по частям

В данном случае имеем

Рациональной дробью называется дробь вида

где и — многочлены степени и соответственно. Если , то предварительно выделяют целую часть дроби, т.е. выполняют деление многочлена на

Затем правильную дробь раскладывают в сумму простейших дробей вида:

После этого переходят к интегрированию данной рациональной дроби

Пример оформления заказа №13

Вычислить интеграл

Решение:

Сначала разделим числитель подынтегральной дроби на знаменатель

В данном примере частное . Остаток . Следовательно, подынтегральная дробь запишется в виде

Теперь переходим к разложению на простейшие дроби

Приравнивая числители, получим тождество

При имеем: .

При имеем: .

При имеем .

Таким образом

В задании требуется вычислить интеграл от выражений, содержащих тригонометрические функции.

Интеграл вида

находится с помощью подстановок или , если одно из чисел или являются нечетными. Если и — четные числа, то при вычислении интеграла применяют формулы понижения степени:

Интегралы вида

сводятся к табличным с помощью формул

Интегралы, содержащие функции от , вычисляются при помощи подстановки .

При вычислении интегралов от рациональных выражений, содержащих функции применяют универсальную тригонометрическую подстановку

Пример оформления заказа №14

Вычислить интегралы

Решение:

Для вычисления первого интеграла применим подстановку
. После подстановки, получим

Для вычисления второго интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку .

В задании необходимо вычислить интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен

Для вычисления таких интегралов сначала в числителе дроби выделяют дифференциал .

Пример оформления заказа №15

Вычислить интеграл

Решение:

Так как дифференциал , то интеграл вычисляется следующим образом:

При вычислении второго интеграла в знаменателе был выделен полный квадрат.

В задании необходимо вычислить интеграл от иррациональной функции. Интегралы вида

где — рациональная функция своих аргументов, — целые числа, вычисляются с помощью подстановки

где — общий знаменатель дробей .

Интеграл вида

путем выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и замены переменной сводятся к одному из следующих типов:

Эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических подстановок

— соответственно.

Пример оформления заказа №16

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем замену , тогда . В итоге получим

Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке , — разбиение отрезка на частей , — произвольная точка, принадлежащая отрезку . Сумма вида

называется интегральной суммой для функции . Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что , не зависящий от способа разбиения отрезка на части и выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции . Таким образом

Геометрически определенный интеграл от функции равен площади криволинейной трапеции

Если функция непрерывна на отрезке и — любая ее первообразная, то имеет место формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла

Пример оформления заказа №17

Вычислить интеграл

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

В задании 2 интеграл вычисляется с помощью замены переменной. Если функция — непрерывная на отрезке функция, — непрерывно дифференцируемая на отрезке функция, , , то справедлива формула замены переменной

Пример оформления заказа №18

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления интеграла сделаем замену переменной

В задании 3 применяется формула интегрирования по частям

Пример оформления заказа №19

Вычислить интеграл

Решение:

Для решения четвертого задания необходимо применить одну из формул для вычисления площади плоской фигуры.

1)

2) Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , то площадь находится по формуле

3) Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами и и кривой, заданной в полярных координатах уравнением , находится по формуле

Пример оформления заказа №20

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Находим точки пересечения указанных линий и строим фигуру.

Согласно формуле (1), площадь данной фигуры равна

Длина дуги кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , то длина дуги вычисляется по формуле

В случае, когда кривая задана в полярных координатах — , , длина дуги вычисляется по формуле

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси является непрерывной на отрезке функцией, то объем тела вычисляется по формуле

Объем тела, полученного при вращении вокруг оси криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Пример оформления заказа №21

1) Найти длину кардиоиды . 2) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

Решение:

1) Так как ,

и кардиоида симметрична относительно полярной оси, то длина всей кардиоиды равна

2) Данная фигура построена в задании 4. Искомый объем равен разности двух объемов: объема , полученного вращением отрезка прямой , и объема , полученного вращением параболы . Следовательно

В шестом задании требуется вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. Если функциях непрерывна при , то, по определению, интеграл с бесконечным пределом

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то интеграл называется расходящимся. Аналогично определяются несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и интеграл

Если функция непрерывна при и , то по определению, несобственный интеграл от неограниченной в точке функции

Аналогично определяется интеграл в случае

В случае, когда , несобственный интеграл определяется следующим образом:

Пример оформления заказа №22

Вычислить интегралы

Решение:

График подынтегральной функции имеет вид

Согласно определению несобственных интегралов имеем:

1)

2)

Следовательно данный интеграл расходится.

Аналитическая геометрия

Пример оформления заказа №23

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, по формулам Крамена и матричным способом.

Решение:

Метод Гаусса решения линейной системы основан на последовательном исключении неизвестных. Умножим первое уравнение на -2 и прибавим ко второму. Затем умножим первое уравнение на 2 и прибавим к третьему уравнению. В итоге получим систему, эквивалентную исходной

Из последнего уравнения исключаем . Для этого умножим второе уравнение на 3 и прибавим к третьему. В итоге получим систему

Из этой системы последовательно находим .

Для решения системы по формулам Крамера вычислим определители

По формулам Крамера .

Для решения системы матричным способом запишем ее в матричном виде

где

Так как , то решение системы имеет вид: , где — матрица, обратная матрице . Обратная матрица вычисляется по формуле

где — алгебраическое дополнение элемента .

Следовательно, равна

Решение системы

Пусть . При выполнении задания 2 необходимо пользоваться следующими формулами:

длина вектора

скалярное произведение

векторное и смешанное произведения

проекция вектора на вектор

угол между векторами и

Пример оформления заказа №24

Даны вершины треугольника .

Найти:

1. длины сторон треугольника ;
2. уравнения сторон треугольника;
3. угол при вершине ;
4. уравнение медианы, проведенной через вершину ;
5. длину высоты, опущенной из вершины ;
6. площадь треугольника.

Решение:

1) Длина стороны вычисляется по формуле

Уравнение стороны определяется по формуле

2), 3) Уравнение стороны . Пусть , — угловые коэффициенты прямых и , тогда

4) Координаты точки , в которой отрезок делится пополам равны: . Уравнение медианы

5) Длину высоты определяем по формуле

6) Векторы и равны , .

Площадь треугольника определяем по формуле

Пример оформления заказа №25

Пусть в пространстве задана точка и плоскость .

Решение:

При выполнении задания необходимо записать параметрическое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости . Так как нормальный вектор плоскости равен и он является направляющим вектором для прямой , то параметрическое уравнение прямой имеет вид

Расстояние от точки до плоскости вычисляем по формуле

Пример оформления заказа №26

Составить уравнение линии, если отношение расстояния от каждой точки линии до точки к расстоянию от точки до прямой равно 1.

Решение:

Пусть — произвольная точка искомой линии. Расстояние от точки до точки равно

Расстояние от точки до прямой равно

По условию таким образом

После преобразования получим уравнение линии

Графиком данной линии является парабола.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Предмет высшая математика
• Решение задач по высшей математике
• Заказать контрольную работу по высшей математике
• Помощь по высшей математике
• Решение высшей математики на заказ
• Готовые контрольные работы по высшей математике
• Готовые курсовые работы по высшей математике
• Высшая математика для заочников
• Высшая математика для 1 курса