С помощью частных производных высших порядков вводятся дифференциалы высших порядков функции двух действительных переменных. Как и частные производные, они определяются последовательно.
Рассмотрим функцию двух действительных переменных, обладающую непрерывными частными производными второго порядка. Ее полный дифференциал
называют полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).
Поскольку и
по предположению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции
, в свою очередь, можно взять полный дифференциал
(
). Таким образом, получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал). который обозначается
.
Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от первого дифференциала:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48126.png)
Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, …, -го порядков, можно определить дифференциалы соответственно третьего,
четвертого, …, -го порядков.
Так, дифференциалом -го порядка функции
называется дифференциал от дифференциала
-1 порядка:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48148.png)
Найдем формулу для вычисления дифференциала второго порядка:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48151.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48156.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48157.png)
Отсюда: . Символически это записывается так:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48163.png)
Этот символ расшифровывается следующим образом. Сначала раскрываются скобки, как будто слагаемые в них числа, а число 2 — показатель степени. Затем числители полученных дробей умножаются на .
Формула для обобщается на случай
:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48168.png)
Этот символ расшифровывается так же, как и для .
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь тогда, когда переменные и
функции
являются независимыми.
Рассмотрим пример нахождения дифференциала второго прядка функции.
Пример №27.4.
Найдите дифференциал второго порядка функции .
Решение:
Найдем по формуле:
.
Сначала найдем частные производные первого порядка функции:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48179.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48180.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48182.png)
Затем найдем частные производные второго порядка функции:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48202.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48203.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48186.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48187.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48188.png)
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48190.png)
Окончательно получим:
![Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-48192.png)
Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: