Для связи в whatsapp +905441085890

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

С помощью частных производных высших порядков вводятся дифференциалы высших порядков функции двух действительных переменных. Как и частные производные, они определяются последовательно.

Рассмотрим функцию Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных двух действительных переменных, обладающую непрерывными частными производными второго порядка. Ее полный дифференциал Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных называют полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

Поскольку Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных и Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных по предположению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных, в свою очередь, можно взять полный дифференциал Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных(Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных). Таким образом, получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал). который обозначается Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных.

Дифференциалом второго порядка функции Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных называется дифференциал от первого дифференциала:

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, …, Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных-го порядков, можно определить дифференциалы соответственно третьего,
четвертого, …, Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных-го порядков.

Так, дифференциалом Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных-го порядка функции Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных называется дифференциал от дифференциала Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных-1 порядка:

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Найдем формулу для вычисления дифференциала второго порядка:

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Отсюда: Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных. Символически это записывается так:

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Этот символ расшифровывается следующим образом. Сначала раскрываются скобки, как будто слагаемые в них числа, а число 2 — показатель степени. Затем числители полученных дробей умножаются на Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных.

Формула для Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных обобщается на случай Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных :

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Этот символ расшифровывается так же, как и для Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных.

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь тогда, когда переменные Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных и Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных функции Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных являются независимыми.

Рассмотрим пример нахождения дифференциала второго прядка функции.

Пример №27.4.

Найдите дифференциал второго порядка функции Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных.

Решение:

Найдем Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных по формуле: Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных.

Сначала найдем частные производные первого порядка функции:

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Затем найдем частные производные второго порядка функции:

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных
Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Окончательно получим:

Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Ответ: Понятие дифференциала высших порядков функции нескольких переменных

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Дифференцируемость и полный дифференциал функции нескольких действительных переменных.
Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных.
Понятие двойного интеграла.
Свойства двойных интегралов.