Понятие функционального ряда

Пусть задана бесконечная последовательность функций определённых на одном и том же множестве . Ряд вида , членами которого являются функции от , называется функциональным. По определению, ряды — функциональные. Придавая определенное значение из множества , получим числовой ряд который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда ; если же числовой ряд расходится — точкой расходимости функционального ряда.

Пример №35.1.

Докажите, что точка является точкой сходимости, а — точкой расходимости функционального ряда

Доказательство. Подставим в функциональный ряд , вместо . Получим числовой ряд , который является сходящимся рядом геометрической прогрессии (лекция 33). Следовательно, по определению, — точка сходимости функционального ряда .

Подставим в функциональный ряд , вместо . Получим числовой ряд , который является расходящимся рядом геометрической прогрессии (лекция 33). Следовательно, по определению, — точка расходимости функционального ряда , что и требовалось доказать.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от : . Определяется она в области сходимости равенством: , где — частичная сумма ряда.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Абсолютная и условная сходимость знакочередующегося ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Понятие степенного ряда. Радиус и интервал сходимости.

Область сходимости степенного ряда.