Для связи в whatsapp +905441085890

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Произведение всех натуральных чисел, начиная с единицы и заканчивая n, называется nфакториалом и обозначается n!, т.е.

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

По определению полагают 0!=1, 1!= 1 . Например,Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля Задачи на факториалы достаточно редко, но всё же встречаются на вступительных экзаменах.

Пример №124.

Сколькими нулями оканчивается число 2000!?

Рассмотрим решение этой достаточно известной задачи. Предположим, что мы разложили данное большое число 2000! на простые множители (в силу основной теоремы арифметики это можно сделать, причём единственным образом):

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

где показатели степеней Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

— некоторые неизвестные нам натуральные числа. Нуль будут давать только произведения пар простых множителей 2 и 5. В этом разложении Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля двоек и Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля пятёрок, причём каждое второе число в натуральном ряду чисел кратно двум и только каждое пятое кратно пяти. Следовательно, Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля . Поэтому число нулей будет равно Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Найдём это число. Среди чисел 1,2,3, …,1999,2000 каждое пятое делится на 5. Таких чисел Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаляштук (квадратные скобки обозначают целую часть). Далее, каждое 25-е число делится еще на пять, и таких чисел Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаляштук. Затем каждое 125-е число делится ещё на пять, и таких пятёрок будет Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаляштук. Продолжая этот конечный процесс (начиная с определённого момента целая часть будет обращаться в нуль), получим в результате

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Ответ: 499 нулями.

Пример №125.

Найти значение выражения

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Решение:

Заметим, что каждое слагаемое в приведённой сумме, кроме последнего, имеет вид Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля, где n изменяется от значения 1 (у первого члена суммы) до 2000 (у предпоследнего слагаемого). Поскольку Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля можно представить в виде Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля, то, заменяя каждое из слагаемых (кроме последнего) на соответствующую сумму, получим:

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Ответ: 1.

Пример №126.

Вычислить сумму

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Решение:

Воспользуемся тождеством

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

для каждого из слагаемых (k = 1,2,…,n). Тогда имеем

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Пример №127.

Решить в целых числах уравнение

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Решение:

Непосредственной проверкой убеждаемся, что при x < 5 решениями уравнения будут пары чисел (l;±l), (3;±3). Докажем теперь, что при Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля решений нет. Для этого заметим, что 1!+2!+3!+4!= 33 оканчивается цифрой 3, а 5!,6!,7!,…— все оканчиваются нулём. Таким образом, при Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля сумма Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаляоканчи-вается цифрой 3, а потому не может равняться квадрату целого числа у (никакой квадрат целого числа не оканчивается на 3).

Наряду с понятием обычного, или одинарного, факториала существует понятие двойного факториала. Приведём для любознательных читателей соответствующее определение. Произведение всех натуральных чисел, начиная с единицы и заканчивая n, имеющих одинаковую с n чётность, называется двойным nфакториалом и обозначается n!!

В частности, если Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля, тоПонятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля а если Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля то Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник ПаскаляПо определению полагают 0!!= 1. Например, 1!!=1, 2!!=2, 8!!= 24 • 6 • 8 = 384, 7!! = 1 • 3 • 5 • 7 = 105. Справедливо тождество n!= n!!•(n — 1)!!.

Пример №128.

В какой степени входит число 2 в разложение на произведение степеней простых чисел следующего выражения:

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Решение:

Преобразуем данное выражение:

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Так как первый из двух сомножителей является нечётным числом, то двойка входит в каноническое разложение в степени, равной n.

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий количество комбинаций, которые можно составить из заданного конечного множества Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля попарно различных элементов произвольной природы. Основным правилом комбинаторики является принимаемое без доказательства правило умножения: если объект А может быть выбран из заданного множества Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля спосо-бами и при каждом выборе объекта А другой объект В может быть выбран mспособами, то объект, состоящий из объединения А и В , может быть выбран k• m способами.

Пример №129.

Сколько различных целых делителей имеет число Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля?

Решение:

Поскольку Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля, то, следовательно, делителями этого числа являются числа вида

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Таким образом, искомое количество делителей равно 2 • (число различных наборов Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Рассмотрим вопрос из области комбинаторики: сколькими способами можно выбрать m предметов из n различных предметов? Количество таких способов принято обозначать Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля и называть числом сочетаний из n по m . Число сочетаний из n по m можно вычислить по следующей формуле, в написании которой используется понятие факториала:

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля


Например,

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Кстати, число n! в комбинаторике также имеет свой смысл. Количество различных способов, какими можно упорядочить n данных предметов, называется числом перестановок из n предметов,Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

К разряду формул сокращённого умножения принято относить и бином Ньютона. Пусть а и b — произвольные действительные числа, n — любое натуральное число. Биномом Ньютона называется следующая формула для вычисления Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля (доказывается в разделе 4):

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Здесь числа Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля называются биномиальными коэффициентами.

Формула бинома Ньютона была известна математикам задолго до Ньютона. Заслуга И.Ньютона в том, что он сумел получить гораздо более общую формулу — для степени Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля , где n — любое действительное число.

Коэффициенты Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля могут быть последовательно записаны в так называемый треугольник Паскаля (в котором каждое число внутри треугольника равно сумме двух чисел, стоящих над ним):

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

откуда и следует доказываемый результат.

В заключение данного пункта рассмотрим пример текстовой задачи, при решении которой понадобится обычная практическая логика и немного правило умножения (из комбинаторики).

Пример №130.

Сколько времени в течение суток на электронном табло вокзальных часов, которые показывают время в диапазоне от 00:00 до 23:59, присутствует хотя бы одна цифра 3?

Решение:

Занумеруем четыре позиции табло слева направо. В 1-й позиции цифра «3» не появляется никогда. Во 2-й позиции цифра «3» присутствует в течение трёх полных часов, начинающихся с 03:00, 13:00, 23:00. Остаётся 21 час, в течение каждого из которых цифра «3» по одному разу занимает 3-ю позицию табло в течение 10 минут, а в течение остальных 50 минут каждого часа 5 раз ровно Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля по 1 минуте занимает последнюю, 4-ю позицию табло.

В результате общее время присутствия цифры «3» на табло равно

Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Числовые неравенства и их свойства с примерами решения
Основные формулы сокращённого умножения в математике
Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел
Наиболее известные средние величины и соотношения между ними