Понятие неопределенного интеграла

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: по данной функции требуется найти её производную. Для дифференцирования существует обратная операция: нахождение первоначальной функции по известной производной . Эта операция получила название интегрирование (от лат. — восстановление).

Так, попытаемся по известной производной восстановить первоначальную функцию. Она будет иметь вид: . Обозначим известную функцию (в нашем примере , а первоначальную функцию (в нашем примере ). Функцию назовем первообразной данной функции .

Функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех из этого промежутка справедливо равенство:

, или, что то же самое, .

Пример №18.1.

Найдите какую-либо первообразную для функции .

Решение:

Функция является первообразной для , т.к. .

Нетрудно заметить, что первообразная не является единственной для функции . В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции , вообще , где — произвольная постоянная, потому что .

Приведём формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Теорема 1. Если функция есть первообразная для функции на некотором промежутке , то множество всех первообразных для задается формулой: , где — константа.

Множество всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом (читается: «интеграл от эф от икс де икс»).

Таким образом, по определению .

Функция называется подынтегральной функцией,

— подынтегральным выражением,

— переменной интегрирования,

символ — знаком неопределённого интеграла.

Пример №18.2.

Найдите .

Решение:

Т.к. , то функция является одной из первообразных для функции . Поэтому .

Геометрически неопределённый интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается из любой другой параллельным переносом вдоль оси (рис. 18.1). График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Встает вопрос: для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке первообразную, а следовательно, и неопределённый интеграл.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Алгоритм поиска асимптот

Общая схема исследования функции и построения графика

Основные свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов.