Для связи в whatsapp +905441085890

Понятие о несобственных интегралах в математике

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования бесконечно удален, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Несобственным интегралом 1-го рода называется интеграл по полубесконечному или бесконечному промежутку интегрирования, который определяется одним из следующих способов:

Понятие о несобственных интегралах в математике
Понятие о несобственных интегралах в математике

Если пределы, стоящие в правой части равенств существуют и конечны, то несобственные интегралы называют сходящимися, в противном случае — расходящимися.

Несобственным интегралом 2-го рода называется интеграл от функции Понятие о несобственных интегралах в математике, непрерывной на полуинтервалах Понятие о несобственных интегралах в математике и имеющей разрыв 2-го рода при Понятие о несобственных интегралах в математике, который определяется формулой

Понятие о несобственных интегралах в математике

Так же, как и выше, несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Если же точка разрыва с находится на конце промежутка, то:

Понятие о несобственных интегралах в математике

Пример:

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

Понятие о несобственных интегралах в математике

Данный интеграл является несобственным интегралом I-го рода

Понятие о несобственных интегралах в математике

► Так как подынтегральная функция имеет разрыв 2-го рода в точке Понятие о несобственных интегралах в математике = 1, лежащей внутри промежутка интегрирования [0;2], то данный интеграл является несобственным интегралом II-го рода:

Понятие о несобственных интегралах в математике

Вычислим каждый предел отдельно:

Понятие о несобственных интегралах в математике

Следовательно, на отрезке [0,1] интеграл расходится.

Понятие о несобственных интегралах в математике

На отрезке [1; 2] интеграл также расходится. Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке [0;2].

Понятие о несобственных интегралах в математике

Заметим, что если вычислить данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке Понятие о несобственных интегралах в математике = 1, то получили бы неверный результат. Действительно,

Понятие о несобственных интегралах в математике

что невозможно, потому что площадь фигуры, ограниченной кривой

Понятие о несобственных интегралах в математике

и отрезком [0; 2] оси Понятие о несобственных интегралах в математике неограничена (см. рис. 6.2).

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Онлайн помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Интегрирование иррациональных функций в математике
Понятие определенного интеграла в математике
Вычисление площади плоской фигуры в математике
Обыкновенные дифференциальные уравнения в математике