Пусть функция 
определена на отрезке 
.
Выполним следующие действия (рис. 21.1).
- С помощью точек
, 
разобьём отрезок 
на 
частей 
. Длину первого отрезка обозначим 
, второго — 
, -го — 
. - Внутри каждого отрезка
, 
… 
выберем соответственно произвольные точки 
. - Найдем значения функции в точках :
. - Для каждого промежутка умножим найденное значение функции
(где 
) на длину соответствующего отрезка 
. - Составим сумму
всех таких произведений: 
. Эту сумму можно записать в виде: 
. Такую сумму называют интегральной суммой функции на отрезке .
Если на отрезке функция 
принимает неотрицательные значения, то каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием 
и высотой . А вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением рассматриваемых прямоугольников.
Мы разбивали отрезок на произвольное число частей, точку 
внутри каждого отрезка также выбирали произвольно. Очевидно, что при различных разбиениях отрезка на части и различном выборе точек можно составить бесконечное число интегральных сумм.
Найдем предел интегральной суммы при 
, но при условии, что длина самого большого среди отрезков (
, где ) будет стремиться к нулю, т.е. 
.
Если при и интегральная сумма имеет предел 
, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то число называется определенным интегралом от функции 
на отрезке и обозначается 
.
Таким образом, 
.
Числа 
и 
называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования. — подынтегральной функцией, 
— подынтегральным выражением, 
— переменной интегрирования, отрезок — областью (отрезком) интегрирования.
Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.
Сформулируем теорему существования определенного интеграла.
Теорема (Коши). Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Интегрирование некоторых иррациональных функций. |
| Универсальная тригонометрическая подстановка. |
| Основные свойства определенного интеграла. |
| Формула Ньютона-Лейбница. |
