Построение многофакторной линейной регрессионной модели в эконометрике

Построение многофакторной линейной регрессионной модели

Связи между массовыми экономическими явлениями характеризуются тем, что в действительности некоторое явление детерминируется множеством одновременно и совокупно действующих причин. Поэтому в общем случае зависимая переменная может быть функцией нескольких переменных Построение многофакторной линейной регрессионной модели и вместо парной регрессии рассматривается множественная регрессия:

В каждом Построение многофакторной линейной регрессионной модели -м наблюдении получаем совокупность значений независимых переменных и соответствующее значение зависимой переменной Построение многофакторной линейной регрессионной модели .

Предположим, что между независимыми переменными Построение многофакторной линейной регрессионной модели и зависимой переменной существует линейное соотношение. Тогда уравнение

выражающее линейное соотношение между переменными, называется теоретическим уравнением множественной регрессии, а соответствующее эмпирическое уравнение регрессии будет иметь вид:

Ясно, что указанным уравнением невозможно охватить весь комплекс причин и учесть случайность, присущую в той или иной степени причинному действию и определенному им следствию. Ограничиваясь наиболее важными факторами, влияющими на развитие исследуемого явления, в выражение функции регрессии вводят аддитивную составляющую — возмущающую переменную Построение многофакторной линейной регрессионной модели , дающую суммарный эффект от воздействия всех неучтенных факторов и случайностей. Возмущение и является случайной переменной, математическое ожидание Построение многофакторной линейной регрессионной модели , дисперсия возмущений постоянна. Поэтому эмпирическое значение величины можно представить следующим образом:

В выражении (2.1) Построение многофакторной линейной регрессионной модели — это среднее значение переменной в точке при фиксированных значениях независимых переменных

в предположении, что только эти Построение многофакторной линейной регрессионной модели переменных являются причиной изменения переменной . Значения — это оценки коэффициентов регрессии . Так, например, Построение многофакторной линейной регрессионной модели указывает среднюю величину изменения при изменении на одну единицу при условии, что другие переменные остаются без изменения; Построение многофакторной линейной регрессионной модели указывает среднюю величину изменения при изменении на одну единицу при условии, что другие переменные остались без изменения, и т.д. Свободный член регрессии Построение многофакторной линейной регрессионной модели определяет точку пересечения гиперповерхности регрессии с осью ординат. Итак, регрессия (2.1) охватывает совокупное одновременное влияние независимых переменных, а коэффициенты регрессии Построение многофакторной линейной регрессионной модели , указывают соответствующие усредненные частные влияния переменных в предположении, что остальные независимые переменные сохраняются на постоянном уровне.

Обозначив через

матрицу-столбец зависимой переменной , через

матрицу независимых переменных, размер которой определяется числом наблюдений Построение многофакторной линейной регрессионной модели и числом переменных ; через

матрицу-столбец коэффициентов регрессии; через

матрицу-столбец возмущений, перепишем линейную модель (2.2) в виде

Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии составим сумму квадратов отклонений:

Так как

Необходимым условием экстремума служит обращение в нуль частных производных функции Построение многофакторной линейной регрессионной модели по параметрам. Дифференцируем по , получаем

Приравнивая Построение многофакторной линейной регрессионной модели нулю, находим систему нормальных уравнений, которая в матричной форме имеет вид

Решение полученной системы определяется по формуле

Оценку параметров уравнения регрессии, найденную по формуле (2.3) называют оценкой метода наименьших квадратов.

В уравнении (2.3) матрицы Построение многофакторной линейной регрессионной модели записываются в следующем виде:

Рассмотрим процедуру построения множественной регрессии с двумя независимыми переменными, не прибегая к обращению матрицы Построение многофакторной линейной регрессионной модели . Функция линейной множественной регрессии в этом случае имеет вид

Сумма квадратов отклонений всех наблюдаемых значений зависимой переменной от значений, вычисленных по уравнению регрессии, должна быть минимальна:

Продифференцировав Построение многофакторной линейной регрессионной модели по каждому из параметров приравняв частные производные нулю и выполнив элементарные преобразования, получаем следующую систему нормальных уравнений: