Оглавление:
Поведение функции от n когда n стремится к бесконечности
- Поведение функции n%, когда n имеет тенденцию быть бесконечным. Здесь, основываясь на замечаниях, сделанных в предыдущем абзаце, мы рассмотрим некоторые предложения, которые всегда встречаются в высшей математике. рассматривать Например, следующие два утверждения: (a) -small for large Значение n, (b) 1 -… приблизительно равно 1 для больших значений n. Несмотря на то, что они могут показаться очень очевидными, они содержат много достойного внимания читателя.
Сначала рассмотрим (а) несколько простое предложение. Это, как мы видели, неравенство <ГГ0,001 / Конкретное определенное значение, в данном случае более 1000. Следующее утверждение также сохраняется: * ~ Менее 0,0001 Если значение pi \ большое, если n> 10000, оно на самом деле равно 0,0001. Вы можете использовать 0,00001 или 0,000001, или любое положительное число вместо 0,001 или 0,0001.
Если круговая стоимость велика, мы уже рассматриваем заявления ниже 0,001. Людмила Фирмаль
Очевидно, что полезно следующее короткое выражение: Тип заявления Если значение l «большое, оно будет больше 0,001. Вместо 0,001 вы можете заменить его небольшим числом, например 0,0001 или 0,00001, или меньшим положительным числом. Это утверждение можно выразить как Очевидно, независимо от того, как маленький б Это положительно, конечно), потому что это достаточно большой Это явно верно для пи. Для — <^ 8 Об этом Все «достаточно большие» n значений Или больше.
Однако утверждение очень сложное. Фактически, это включает в себя весь класс операторов, которые вы извлекаете с определенным значением b, например, 0,001. чем Чем меньше 8, тем больше Конечно, минимум «достаточно большого» значения, которое содержит соответствующий оператор, и значение, достаточно большое для значения 8, могут не подходить для другого небольшого значения. Последнее утверждение, выделенное курсивом, обычно является утверждением (а), и, если n большое, подразумевается, что ^ мало.
| Свойства, которыми обладает функция от n для больших значений n | Определение предела |
| Выражение „n стремится к бесконечности» | Колеблющиеся функции |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Как приятно Следовательно, (b) на самом деле <p (/ 2) = 1- Во-вторых, утверждение 1 — cp (/ r) <8 сохраняется для достаточно больших значений η, независимо от положительного значения, назначенного b (например, 0,001 или 0,0001). Какое утверждение (б) 1 — Очевидно, учитывая тот факт, что cp (x) = -. Существует другой способ выражения фактов, содержащихся в утверждениях (а) и (b) и предложенных в пункте 55. Если значение r велико, говорят, что «когда n становится со (или когда n становится со), оно стремится стать 0». Аналогично, «1 — стремится к 1 для n». Эти утверждения следует считать строго эквивалентными утверждениям (а) и (б).
Эквивалентно более формальным предложениям, которые эквивалентны друг другу: «Если b — любое небольшое положительное число, Для достаточно больших значений l, Или даже более формальные предложения: «Если 5 — небольшое положительное число, Вы можете найти число nf) i такое, что k больше / rn для всех значений n. Число n0, которое появляется в последнем предложении, конечно, является функцией от 6. Это можно подчеркнуть, написав n0 (6) вместо n0.
«Немного, когда-н здорово», n имеет тенденцию быть oo, поэтому он имеет тенденцию быть 0 * Людмила Фирмаль
Читатели должны встретиться с кем-то, кто ставит под сомнение эффективность заявления. Он звонит на все меньший номер. Он может начать с 0,001. Читатель возвращает 0,001, как только n> 1000. Вам нужно принять это, но попробуйте новую попытку с меньшим числом, например, 0,0000001. Читатель отвечает — ^ — <0,0000001, как только я> 10 000 000 и т. Д. здесь В простом случае ясно, что читатель выигрывает конфликт. Далее я представлю другой способ выражения Свойства функции. «Предел-I, N Если co (или n имеет тенденцию быть co), оно равно 0. Это утверждение *) lim i = 0, Я с п Или просто lim- = 0. 1 р 0 для -n -oo, Это можно прочитать следующим образом: Если n имеет тенденцию быть соевым, это имеет тенденцию быть 0. Или просто «как, мы пишем lim (l-M = l, lim (l- = 1, „-. Итак \ n) \ n, 1 Или 1 — V 1. N
Далее рассмотрим другой пример: 9 (h) = riK Если n большое, n2 большое. Это утверждение эквивалентно следующему более формальному утверждению: Если D — любое большое положительное число, для достаточно больших значений n * y / 2r> D Вы можете найти число 00 ()), которое будет я3]> для всех n больше, чем «0 ()). В этом случае «n2 имеет тенденцию быть oo, и n имеет тенденцию быть co», или пn становится г с oq, « п2-> оо.
Наконец, рассмотрим функцию <p (η) = -Λ2. В этом случае 9 (i) велико, но если n велико, оно отрицательно, и описывается «-l * становится -co, а n имеет тенденцию быть со». -г г-с. В этом смысле использование символа -co может потребовать некоторых удобных обозначений. Вместо π — * — оо. В общем Может быть удобно использовать символ -j-oo вместо co для объединения обозначений. Однако во всех этих утверждениях символы oo, -j-oo и -so не означают ничего отдельно, они приобретают конкретное значение только тогда, когда они определены в определенном контексте, и их значение определено Приведенное выше объяснение следует подчеркнуть еще раз.
