Для связи в whatsapp +905441085890

Поверхности вращения

Поверхности вращения. Конические поверхности

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая Поверхности вращения лежит в плоскости Поверхности вращения. Уравнения этой кривой запишутся в виде

Поверхности вращения

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой Поверхности вращениявокруг оси Поверхности вращения.

Возьмем на поверхности произвольную точку Поверхности вращения (см. рис. 88). Проведем через точку Поверхности вращения плоскость, перпендикулярную оси Поверхности вращения, и обозначим точки пересечения ее с осью Поверхности вращения и кривой Поверхности вращения соответственно через Поверхности вращения и Поверхности вращения. Обозначим координаты точки Поверхности вращения через Поверхности вращения. Отрезки Поверхности вращения и Поверхности вращения являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому Поверхности вращения. Но Поверхности вращения. Следовательно, Поверхности вращения или Поверхности вращения. Кроме того, очевидно, Поверхности вращения.

Поверхности вращения

Так как точка Поверхности вращения лежит на кривой Поверхности вращения, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть, Поверхности вращения. Исключая вспомогательные координаты Поверхности вращения и Поверхности вращения точки Поверхности вращения, приходим к уравнению

Поверхности вращения

Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки Поверхности вращения этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой Поверхности вращения на Поверхности вращения, координата Поверхности вращения сохраняется.

Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Поверхности вращения, то уравнение поверхности вращения имеет вид

Поверхности вращения

если кривая лежит в плоскости Поверхности вращения и ее уравнение Поверхности вращения, то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси Поверхности вращения, есть Поверхности вращения.

Так, например, вращая прямую Поверхности вращения вокруг оси Поверхности вращения (см. рис. 89), получим поверхность вращения (ее уравнение Поверхности вращения или Поверхности вращения). Она называется конусом второго порядка.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Поверхности вращения и пересекающими данную плоскую линию Поверхности вращения (не проходящую через Поверхности вращения), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия Поверхности вращения называется направляющей конуса, точка Поверхности вращения — ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Поверхности вращения

Пусть направляющая Поверхности вращения задана уравнениями

Поверхности вращения

а точка Поверхности вращения — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку Поверхности вращения (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Поверхности вращения и Поверхности вращения, пересечет направляющую Поверхности вращения в некоторой точке Поверхности вращения. Координаты точки Поверхности вращения удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:

Поверхности вращения

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Поверхности вращения и Поверхности вращения, имеют вид

Поверхности вращения

Исключая Поверхности вращения и Поверхности вращения из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты Поверхности вращения и Поверхности вращения.

Пример №12.3.

Составить уравнение конуса с вершиной в точке Поверхности вращения, если направляющей служит эллипс Поверхности вращения, лежащий в плоскости Поверхности вращения.

Решение:

Пусть Поверхности вращения — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки (0; 0; 0) и точку Поверхности вращения пересечения образующей Поверхности вращения с эллипсом будут Поверхности вращенияПоверхности вращения. Исключим Поверхности вращения и Поверхности вращения из этих уравнений и уравнения

Поверхности вращения

(точка Поверхности вращения лежит на эллипсе), Поверхности вращения. Имеем: Поверхности вращения. Отсюда Поверхности вращения и Поверхности вращения. Подставляя значения Поверхности вращения и Поверхности вращения в уравнение эллипса (12.27), получим

Поверхности вращения или Поверхности вращения.

Это и есть искомое уравнение конуса.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Прямая и плоскость в пространстве
Цилиндрические поверхности
Множество действительных чисел
Числовые множества