Оглавление:
Правила Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида 
и 
, который основан на применении производных.
Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции 
и 
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки 
и обращаются в нуль в этой точке: 
. Пусть 
в окрестности точки . Если существует предел 
, то 
.
Применим к функциям и теорему Коши для отрезка 
, лежащего в окрестности точки . Тогда 
, где лежит между и 
(рис. 144). Учитывая, что получаем
При 
, величина 
также стремится к ; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:
Так как , то 
. Поэтому 
.
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Замечания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции и не определены при 
, но 
и 
.
Достаточно положить 
и 
.
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда 
. Действительно, положив 
, получим
3. Если производные 
и 
удовлетворяют тем же условиям, что и функции и , теорему 25.4 можно применить еще раз:
и т. д.
Пример №25.2.
Найти 
.
Решение:
.
Дополнительный пример №25.3.
Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида . Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида .
Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).
Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности 
. Если существует предел 
, то 
.
Пример №25.4.
Найти 
.
Решение:
2-й способ:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Производная сложной и обратной функций |
| Гиперболические функции и их производные |
| Раскрытие неопределенностей различных видов |
| Формула Тейлора для функции |
