Оглавление:
Правило Лопиталя
Теорема 8.1. Пусть
1) функции 
определены и непрерывны в проколотой окрестности 
;
2) существуют конечные производные 
;
3) 
;
4) 
.
Тогда если существует 
. то существует 
и имеет место равенство
Доказательство.
Доопределим функции в точке 
, полагая 
.
Тогда функции непрерывны в точке . Используя теорему Коши (теорема 7.3), получим
где точка с будет удовлетворять условиям 
или 
.
Если 
, поэтому, согласно условию теоремы,
Теорема 8.1 формулирует правило раскрытия неопределенности типа 
.
Замечание 8.1. Если производные 
удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции 
, то правило Лопиталя можно применять повторно. При этом получаем
Пример 8.1.
Найти предел 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 8.2.
Найти предел 
.
Решение:
Ответ: 1.
Пример 8.3.
Найти предел 
;
Решение:
Ответ: 2.
Теорема 8.2*. Пусть
1) функции 
определены и непрерывны в проколотой окрестности ;
2) существуют конечные производные 
;
3) 
;
4) 
Тогда, если существует 
, то существует 
и имеет место равенство
Теорема 8.2 формулирует правило раскрытия неопределенности типа 
Замечание 8.2. Правило Лопиталя справедливо и в случаях 
.
Пример 8.4.
Найти предел 
.
Решение:
Ответ: 0.
Пример 8.5.
Найти предел 
.
Решение:
Ответ: 0.
Пример 8.6.
Найти предел 
.
Решение:
Полученный предел не существует, так как при 
функция 
не стремится ни к какому предельному значению, а колеблется между 0 и 2. Правило Лопиталя не дает результатов.
Рассмотрим другой подход к вычислению предела.
Ответ: 1.
Заметим, что правило Лопиталя дает также возможность раскрыть неопределенности типа 
предварительно приведя их к виду 
.
Пример 8.7.
Найти предел 
.
Решение:
Ответ: 0.
Пример 8.8.
Найти предел 
Решение:
Ответ: 0.
Пример 8.9.
Найти предел 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 8.10.
Найти предел 
.
Решение:
Ответ: 1.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
