Оглавление:
Предел числовой последовательности
Число 
называется пределом последовательности 
, если каково бы ни было наперед заданное положительное число 
, всегда можно найти такое натуральное число 
, что для всех членов последовательности с номерами 
будет выполняться неравенство 
или 
. Предел обозначается 
или 
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если предела нет, то последовательность расходится.
Бесконечно малые и бесконечно большие переменные
Если переменная величина 
имеет своим пределом 0, то она называется бесконечно малой, т. е. 
.
Алгебраическая сумма, разность бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Произведение бесконечно малой величины на постоянную есть бесконечно малая величина.
Переменная величина называется бесконечно большой, если начиная с некоторого номера она становится и остается при всех последующих номерах по абсолютной величине больше любого наперед заданного положительного числа 
, 
, для 
.
Обозначается: 
или 
.
Необходимо знать, что 
.
Основные теоремы пределов
Отметим следующие свойства пределов. Если и 
имеют конечные пределы 
и 
, то:
, где 
(если 
)
- Если
, а принимает значение 
и имеет предел 
, то 
- Если ,
, то 
.
Задача №33.
Найти 
.
Решение:
{числитель и знаменатель разделим на наивысшую степень 
} 
{свойство 4} 
{свойство 5, свойство 3} 
Задача №34.
Найти 
.
Решение:
{делим на 
}
Задача №35.
Найти 
.
Решение:
{делим на } 
Правило
- Если в отношении двух рациональных последовательностей при
степени числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов высших степеней. - Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел равен 0.
- Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен
.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Кривые линии второго порядка задачи с решением |
| Числовые последовательности задачи с решением |
| Предел функции в точке задачи с решением |
| Первый замечательный предел задача с решением |
