Для связи в whatsapp +905441085890

Предел функции двух действительных переменных

Понятие предела функции двух действительных переменных вводится аналогично случаю функции одной переменной.

Множество всех точек Предел функции двух действительных переменных плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству Предел функции двух действительных переменных, называется Предел функции двух действительных переменных-окрестностью точки Предел функции двух действительных переменных. Другими словами, Предел функции двух действительных переменных-окрестность точки Предел функции двух действительных переменных — это все внутренние точки круга с центром Предел функции двух действительных переменных и радиусом Предел функции двух действительных переменных (рис. 25.8).

Предел функции двух действительных переменных

Пусть функция Предел функции двух действительных переменных определена в некоторой окрестности точки Предел функции двух действительных переменных, кроме, быть может, самой этой точки. Число Предел функции двух действительных переменных называется пределом функции Предел функции двух действительных переменных при Предел функции двух действительных переменных и Предел функции двух действительных переменных (или, что то же самое, при Предел функции двух действительных переменных), если для любого Предел функции двух действительных переменных существует Предел функции двух действительных переменных такое, что для всех Предел функции двух действительных переменных и Предел функции двух действительных переменных и удовлетворяющих неравенству Предел функции двух действительных переменных выполняется неравенство Предел функции двух действительных переменных. Записывают:

Предел функции двух действительных переменных или Предел функции двух действительных переменных.

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому Предел функции двух действительных переменных стремится к Предел функции двух действительных переменных ( число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной Предел функции двух действительных переменных по двум направлениям: справа и слева).

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число Предел функции двух действительных переменных, найдется Предел функции двух действительных переменных-окрестность точки Предел функции двух действительных переменных, что во всех ее точках Предел функции двух действительных переменных, отличных от Предел функции двух действительных переменных, аппликаты соответствующих точек поверхности Предел функции двух действительных переменных отличаются от числа Предел функции двух действительных переменных по модулю меньше, чем на Предел функции двух действительных переменных.

Все основные свойства и теоремы о пределах, установленные в лекции 9 части 1 для функции одной действительной переменной, обобщаются и на случай функции двух действительных переменных.

Пример №25.1.

Вычислите: Предел функции двух действительных переменных.

Решение:

Используя свойства пределов, получим:

Используя свойства пределов, получим:

Предел функции двух действительных переменных

Ответ: Предел функции двух действительных переменных.

Пример №25.2.

Вычислите: Предел функции двух действительных переменных.

Решение:

Будем приближаться к Предел функции двух действительных переменных по прямой Предел функции двух действительных переменных, где Предел функции двух действительных переменных — некоторое действительное число. Тогда Предел функции двух действительных переменных.

Функция Предел функции двух действительных переменных в точке Предел функции двух действительных переменных предела не имеет, так как при разных значениях Предел функции двух действительных переменных предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Ответ: Предел функции двух действительных переменных не существует.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Понятие функции двух действительных переменных.
Способы задания функции двух действительных переменных.
Непрерывность функции двух действительных переменных.
Понятие частной производной функции нескольких действительных переменных.